[teoria] autovalori e autospazi
Dagli appunti ho trovato che:
La molteplicità algebrica di ogni autovalore deve eguagliare quella geometrica.
E su questo sono sicuro, perchè lo applico sempre.
La definizione che mi sembra in dubbio è:
La dimensione di ogni autospazio equivale alla dimensione delle molteplicità algebrica meno 1.
Forse sono io ad evere scritto male, perchè non si può parlare di 'dimensione' di molteplicità algebrica.
E poi, se un $lambda$ ha $m.a=2$ allora la dimensione del suo relativo autospazio mi devo aspettare che abbia dimensione $1$? :S
Aspetto vostre illuminazioni
Grazie.!
La molteplicità algebrica di ogni autovalore deve eguagliare quella geometrica.
E su questo sono sicuro, perchè lo applico sempre.
La definizione che mi sembra in dubbio è:
La dimensione di ogni autospazio equivale alla dimensione delle molteplicità algebrica meno 1.
Forse sono io ad evere scritto male, perchè non si può parlare di 'dimensione' di molteplicità algebrica.
E poi, se un $lambda$ ha $m.a=2$ allora la dimensione del suo relativo autospazio mi devo aspettare che abbia dimensione $1$? :S
Aspetto vostre illuminazioni
Grazie.!
Risposte
Questa definizione mi giunge nuova, per chiarirci, intendi il teorema per cui:
$1 <= g_k <= a_k$ ?
$1 <= g_k <= a_k$ ?
"delano":
Questa definizione mi giunge nuova, per chiarirci, intendi il teorema per cui:
$1 <= g_k <= a_k$ ?
Non so cosa intendi per $g_k$ e $a_k$.
Stavo controllando sul libro del prof, per capire se fosse una dimostrazione, ma non vedo nulla.
Lui ci disse che era un trucchetto per verificare se nel trovare autovalori e autospazi, ci trovavamo.
Non so altro.
Ti trovi con me che dire 'dimensione della molteplicità algebrica' è errato?
La molteplicità algebrica è, per l'appunto, una molteplicità, non uno spazio. Uno spazio può avere dimensione, la molteplicità no. Almeno è quello che credo.
Edit:
Per $g_k$ intendo molteplicità geometrica, $g_k = dim V_k$
Edit:
Per $g_k$ intendo molteplicità geometrica, $g_k = dim V_k$
"delano":
La molteplicità algebrica è, per l'appunto, una molteplicità, non uno spazio. Uno spazio può avere dimensione, la molteplicità no. Almeno è quello che credo.
Edit:
Per $g_k$ intendo molteplicità geometrica, $g_k = dim V_k$
Su questo ci siamo. Son d'accordo anche io.
Ma non capisco la teoria del trovare la dim dell'autospazio facendo $m.a-1$.
Qui, c'è da discutere.
Sinceramente questo "trucchetto" non lo conosco, provo ad informarmi...
"clever":
...
E poi, se un $lambda$ ha $m.a=2$ allora la dimensione del suo relativo autospazio mi devo aspettare che abbia dimensione $1$? :S
...
"clever":
...Ma non capisco la teoria del trovare la dim dell'autospazio facendo $m.a-1$.
Qui, c'è da discutere.
No, qui non c'è da discutere. E' semplicemente falso.
Dato un autovalore $lambda$ la dimensione dell'autospazio corrispondente $V_\lambda$ NON si calcola come $"molteplicità algebrica" -1$.
Avrai sicuramente commesso qualche errore.
Non capisco a quale trucchetto si stesse riferendo il tuo prof. Questo non è un trucchetto, perchè non funziona.
E comunque:
"clever":
Dagli appunti ho trovato che:
La molteplicità algebrica di ogni autovalore deve eguagliare quella geometrica.
E su questo sono sicuro, perchè lo applico sempre.
Cerca di esprimerti meglio.
Questa condizione -non l'hai specificato- non vale sempre, ma è una condizione da imporre per verificare la diagonalizzabilità di una matrice (o di un'applicazione lineare).
La molteplicità geometrica non è altro che la dimensione dell'autospazio, se come dici tu la molteplicità geometrica è minore di quella algebrica di una costante 1, no potresti mai avere autovalori, visto che le due molteplicità non verrebbero mai ad assumere lo stesso valore.
Non esiste alcun trucchetto del genere!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Non esiste alcun trucchetto del genere!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
La molteplicità geometrica non è altro che la dimensione dell'autospazio, se come dici tu la molteplicità geometrica è minore di quella algebrica di una costante 1, no potresti mai avere endomorfismi diagonalizzabile, visto che le due molteplicità non verrebbero mai ad assumere lo stesso valore. Altresì vero è che le due molteplicità non coincidono. Quindi la prima affermazione non è del tutto corretta, deve essere specificato il fatto che se la molteplicità geometrica e quella algebrica di un autovalore coincidono allora l'endomorfismo è diagonalizzabile. (n.b. al posto di endomorfismo puoi considerare anche una matrice, le due teorie sviluppate sono equivalenti). Esatta è invece la relazione $1≤g_k≤a_k$ dove $g_k$ è la molteplicità geometrica, nonchè la dimensione dell'autospazio e $a_k$ è la molteplicità algebrica.
"cirasa":
[quote="clever"]...
E poi, se un $lambda$ ha $m.a=2$ allora la dimensione del suo relativo autospazio mi devo aspettare che abbia dimensione $1$? :S
...
"clever":
...Ma non capisco la teoria del trovare la dim dell'autospazio facendo $m.a-1$.
Qui, c'è da discutere.
No, qui non c'è da discutere. E' semplicemente falso.
Dato un autovalore $lambda$ la dimensione dell'autospazio corrispondente $V_\lambda$ NON si calcola come $"molteplicità algebrica" -1$.
Avrai sicuramente commesso qualche errore.
Non capisco a quale trucchetto si stesse riferendo il tuo prof. Questo non è un trucchetto, perchè non funziona.
E comunque:
"clever":
Dagli appunti ho trovato che:
La molteplicità algebrica di ogni autovalore deve eguagliare quella geometrica.
E su questo sono sicuro, perchè lo applico sempre.
Cerca di esprimerti meglio.
Questa condizione -non l'hai specificato- non vale sempre, ma è una condizione da imporre per verificare la diagonalizzabilità di una matrice (o di un'applicazione lineare).[/quote]
Ho cercato, sul web nulla. Forse può capitare solo in qualche caso (solo per una questione di fattore C.)
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