Teoria autovalori

[JackPirri]

Ciao, studiando la definizione di autovalore di un endomorfismo mi sono imbattuto in questa osservazione.
Sia k€K e f:V->V un endomorfismo.L'applicazione fk:V->V definita da fk(v)=f(v)-kv è lineare.Mi dice che k è un autovalore sse il nucleo dell'ultima applicazione non è banale.Ma quando dice che k è un autovalore si riferisce all'endomorfismo f non ad fk.Giusto?

[anto_zoolander]

Certo. Perché se $Ker(fk)ne{vec(0)}$ allora esiste almeno un $vec(v) inVsetminus{vec(0)}:fk(vec(v))=vec(0)$

Ma allora $f(vec(v))-kvec(v)=vec(0)=>f(vec(v))=kvec(v)$

Più formalmente data $LinEnd(V)$
$lambdainK$ è autovalore $<=> L-lambdaid_V:V->V$ non è isomorfismo

[JackPirri]

Grazie.

[JackPirri]

Un'altra cosa: quando definisce autovettore e autospazio,mi dice che l'insieme degli autovettori di f associati a k è il nucleo di fk..Pertanto è un sottospazio di V che chiama autospazio.Ma se il vettore non appartiene all'insieme degli autovettori come fa quest'ultimo ad essere un sottospazio di V?

[anto_zoolander]

Al posto di scrivere $fk$ scrivi $f-lambdaid_V$ e ti sarà più chiaro.

L’uguaglianza è $V_(lambda)=Ker(f-lambdaid_V)$

Per: ‘ma se il vettore non appartiene a...’ intendi vettore il vettore nullo?
Se dovesse essere si di fatto si definisce

$V_lambda={v inVsetminus{vec(0)}:f(v)=lambdav}cup{vec(0)}$

[JackPirri]

Si intendo il vettore nullo.Quindi l'autospazio relativo all'autovalore k è formato da tutti quei vettori di V per cui vale f(v)=kv,più il vettore nullo(che però non è un autovettore?

[JackPirri]

quel\{0} vorrebbe dire -{0}?

[anto_zoolander]

Si. Per definizione gli autovettore sono vettori non nulli, quindi ci vai ad aggiungere quello nullo.
Si sarebbe ‘meno il vettore nullo’

[JackPirri]

Grazie tante.