[Teoria, algebra] Sistema di vettori indipendenti.
Probabilmente mi sfugge qualcosa di molto semplice, però, sarà la stanchezza. Sempre meglio chiedere.
Ho un insieme di vettori indipendenti, $V$, tale che sia $V={v_1, ..., v_n}$. Togliendo uno di questi vettori da questo insieme, come faccio a dimostrare che quelli rimanenti siano indipendenti?
A proposito di sistemi di vettori linearmente indipendenti, io so che nessuno di essi dipende dai rimanenti; poi conosco un'altro teorema che ci dice che se "aggiungo" (e non tolgo, quindi) un vettore, a un sistema di vettori indipendenti, in modo che questo sia indipendente dagli altri, allora il sistema ottenuto è ancora linearmente indipendente.
Ma non so se può valere il procedimento contrario.
Per acquietarmi e cercare di concludere qualcosa oggi, ho provato a dimostrarmelo spezzando la somma.
Se $v_1, ..., v_n$ sono linearmente indipendenti, allora avremo che:
$0 = 0 v_1 + ... + 0 v_n$ $(1)$
Se non sbaglio tale uguaglianza posso scriverla così:
$0 = 0 v_1 + 0 v_2$
$ 0 = 0 v_3 + ... + 0 v_n$, dacchè sommando membro a membro otterrei la (1).
Siccome nella dimostrazione da cui mi è venuto il dubbio (dimostrando il lemma di Steinitz, osservo che, dato un certo insieme di vettori indipendenti, $A=a_1, ..., a_n$, la dimostrazione ricava che sono indipendenti i primi due, cioè $a_1, a_2$), mi interessavano solo i primi due vettori, mi sono accontentato così.
Chiedo a voi di intervenire per cercare di farmi notare errori o dimenticanze "teoriche" gravi
.
Ho un insieme di vettori indipendenti, $V$, tale che sia $V={v_1, ..., v_n}$. Togliendo uno di questi vettori da questo insieme, come faccio a dimostrare che quelli rimanenti siano indipendenti?
A proposito di sistemi di vettori linearmente indipendenti, io so che nessuno di essi dipende dai rimanenti; poi conosco un'altro teorema che ci dice che se "aggiungo" (e non tolgo, quindi) un vettore, a un sistema di vettori indipendenti, in modo che questo sia indipendente dagli altri, allora il sistema ottenuto è ancora linearmente indipendente.
Ma non so se può valere il procedimento contrario.
Per acquietarmi e cercare di concludere qualcosa oggi, ho provato a dimostrarmelo spezzando la somma.
Se $v_1, ..., v_n$ sono linearmente indipendenti, allora avremo che:
$0 = 0 v_1 + ... + 0 v_n$ $(1)$
Se non sbaglio tale uguaglianza posso scriverla così:
$0 = 0 v_1 + 0 v_2$
$ 0 = 0 v_3 + ... + 0 v_n$, dacchè sommando membro a membro otterrei la (1).
Siccome nella dimostrazione da cui mi è venuto il dubbio (dimostrando il lemma di Steinitz, osservo che, dato un certo insieme di vettori indipendenti, $A=a_1, ..., a_n$, la dimostrazione ricava che sono indipendenti i primi due, cioè $a_1, a_2$), mi interessavano solo i primi due vettori, mi sono accontentato così.
Chiedo a voi di intervenire per cercare di farmi notare errori o dimenticanze "teoriche" gravi
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Risposte
Se dei vettori sono linearmente indipendenti, togliendone uno a maggior ragione sono ancora linearmente indipendenti. Infatti se, ad esempio, togliendo $v_i$ si ottiene che $\exists (a_0 ... a_n) : v_j=a_0v_0 +a_1v_1 + ... + a_nv_n$ allora è altrettanto vero che in precedenza $v_j=a_0v_0 + a_1v_1 + ... + 0v_i + ... + a_nv_n$.
Ovvero se togliendone uno ottieni vettori linearmente dipendenti allora lo erano anche quello di partenza.
Ovvero se togliendone uno ottieni vettori linearmente dipendenti allora lo erano anche quello di partenza.
Perdonami, ma faccio un po' di confusione a capire quello che scrivi.
Se abbiamo vettori indipendenti, nessuno dipende dagli altri. Come mai tu parli di vettori dipendenti, alla fine?
Se abbiamo vettori indipendenti, nessuno dipende dagli altri. Come mai tu parli di vettori dipendenti, alla fine?
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