Teorema sulla base incompleta

[ale67117]

Buongiorno, scusate ho un dubbio per questa parte di teoria:
"Quanti iperpiani in uno spazio vettoriale di dimensione n bisogna intersecare per ottenere un sottospazio di dimensione K Per rispondere all'ultima condizione, ho supposto che ogni sottospazio 1-dimensionale \( U \) di uno spazio vettoriale \( V \) è l'intersezione di due iperpiani.
Un sottospazio 1-dimensionale \( U \) è generato da un vettore \( \mathbf{u} \).
Scegliendo due vettori normali \( \mathbf{n} \) e \( \mathbf{m} \) non paralleli a \( \mathbf{u} \).
Gli iperpiani \( H_1: \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0 \) e \( H_2: \mathbf{m} \cdot \mathbf{v} = 0 \) intersecano in \( U \).

Quindi, \( U = H_1 \cap H_2 \).
Secondo voi è completa come risposta?.

[Lebesgue]

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$, allora un suo iperpiano $H$ è un sottospazio vettoriale di $V$ di dimensione $n-1$.
In particolare, in forma cartesiana, $H$ è descritto da una sola equazione.
Se voglio costruire un sottospazio di dimensione $k < n$, allora tale sottospazio dovrà essere descritto da $n - k$ equazioni indipendenti (nel senso che la matrice dei coefficienti deve avere rango $n - k$ )

Se voglio un sottospazio di dimensione $k = n-1$, allora questo è un iperpiano $H_1$ e quindi mi basta un solo iperpiano.
Se voglio un sottospazio di dimensione $k = n-2$, devo avere $n - k = 2$ equazioni indipendenti, quindi devo intersecare due iperpiani $H_1$ e $H_2$.

Procedendo in questo modo, si vede che per avere un generico sottospazio di dimensione $k

[edit] modifico cercando di rendere la risposta più generale possibile
Per quanto riguarda la domanda

È sempre vero che ogni sottospazio 1-dimensionale di V è intersezione di due iperpiani?

possiamo ragionare come segue:

Se $dim V = 2$, allora ogni sottospazio 1 dimensionale è un iperpiano e quindi ok.
Se $n=3$ allora ogni retta (= sottospazi di dimensioni 1) si scrive come intersezione di due piani (che corrispondono agli iperpiani), per cui l'affermazione è vera.

Supponiamo $dim V >= 4$.
Prendiamo $U$ un sottospazio di $V$ 1-dimensionale, dunque $U = Span(u)$.
Siano ora $H_1$ e $H_2$ due iperpiani di $V$, dunque $\dim H_1 = \dim H_2 = n-1$.
Possiamo supporre che una base di $H_1$ sia $B_1 = {u,v_2,...,v_(n-1) }$.
La domanda è: riusciamo a costruire una base di $H_2$ in modo che $H_1 \cap H_2 = Span(u)?$.
Per farlo, dovrei avere una base di $H_2$ della forma $B_2 = {u, w_2,...,w_(n-1) }$ con $w_i$ indipendente da $B_1$ per ogni $i = 2,...,n-1$.
Tuttavia questo è impossibile, in quanto per Grassmann abbiamo che:

$dim(H_1 \cap H_2) = dim(H_1) + dim(H_2) - \dim(H_1 + H_2) = (n-1)+(n-1) - dim(H_1 + H_2)$,

ma $dim(H_1+H_2) <= n$, dunque:

$dim(H_1 \cap H_2) >= 2n - 2 - n = n - 2$.

In particolare, se $n >= 4$, allora $dim(H_1 \cap H_2) >= 2$.