Teorema spettrale matrici
Ciao ragazzi,
stavo ripassando il teorema in oggetto, in particolare leggendo questa dimostrazione:
http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/4 ... heorem.pdf
La domanda è: perché la conclusione del 'Lucky Fact 2' è un assurdo? Dove vedo con certezza che il \(\displaystyle \lambda \)-autovettore di \(\displaystyle \mathbf{A} \) trovato (che ha quella forma particolare con \(\displaystyle r \) zeri all'inizio) non possa essere uno tra i \(\displaystyle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r \) già dichiarati inizialmente?
stavo ripassando il teorema in oggetto, in particolare leggendo questa dimostrazione:
http://www.math.lsa.umich.edu/~speyer/4 ... heorem.pdf
La domanda è: perché la conclusione del 'Lucky Fact 2' è un assurdo? Dove vedo con certezza che il \(\displaystyle \lambda \)-autovettore di \(\displaystyle \mathbf{A} \) trovato (che ha quella forma particolare con \(\displaystyle r \) zeri all'inizio) non possa essere uno tra i \(\displaystyle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r \) già dichiarati inizialmente?
Risposte
Ho letto dal cellulare, ma se la m.g. è $r$ per l'autovalore $\lambda$, e tu trovassi un altro $\lambda$-autovettore di $A$, allora ne hai $r+1$ invece che $r$. Ma la m.g. deve essere $r$ per ipotesi.
Prima di tutto grazie.
Quell'autovettore nuovo che lui trova alla fine, non potrebbe appartenere allo spazio generato dagli altri \(\displaystyle r \) autovettori già elencati prima? Dove si vede che non è così?
Quell'autovettore nuovo che lui trova alla fine, non potrebbe appartenere allo spazio generato dagli altri \(\displaystyle r \) autovettori già elencati prima? Dove si vede che non è così?
Infatti, $B = \{ v_1, \ldots,v_{r} \}$ per ipotesi è una base dello spazio delle soluzioni di $Av = \lambda v$, che ha dunque dimensione $r$. Quindi $(0,0,u)$ sarà dato da una combinazione lineare degli elementi di $B$, in quanto sarebbe un altro $\lambda$-autovettore di $A$.
Se hai $r+1$ vettori in $\mathbb{R}^{r}$, questo non possono essere linearmente indipendenti.
In sostanza, siccome non può essere $\lambda$ autovalore di $C$, questo implica che $\lambda$ è una radice con molteplicità algebrica $r$
Se hai $r+1$ vettori in $\mathbb{R}^{r}$, questo non possono essere linearmente indipendenti.
In sostanza, siccome non può essere $\lambda$ autovalore di $C$, questo implica che $\lambda$ è una radice con molteplicità algebrica $r$
[ot]@feddy: ho notato che stai prendendo l'abitudine di scrivere abbreviazioni come m.g., m.a. e simili. Chiaramente sei liberissimo di farlo, ma se ti interessa la mia opinione, rendono difficile la lettura.[/ot]
[ot]Grazie dissonance. Certo che mi interessa la tua opinione 
Anche perché non voglio rendere difficile la lettura a nessuno! Onestamente non me ne sono nemmeno reso conto, probabilmente è dovuto alla fretta.[/ot]
Anche perché non voglio rendere difficile la lettura a nessuno! Onestamente non me ne sono nemmeno reso conto, probabilmente è dovuto alla fretta.[/ot]
"Silent":
Quell'autovettore nuovo che lui trova alla fine, non potrebbe appartenere allo spazio generato dagli altri \(\displaystyle r \) autovettori già elencati prima?
Assolutamente no.
Lo provi dalla definizione stessa $Av=lambdav$
Supponiamo che il vettore v sia associato a due autovalori diversi.
Abbiamo quindi che $Av=lambda_1v$ e $Av=lambda_2v$
Pertanto $lambda_1v-lambda_2v=0 rArr (lambda_1-lambda_2)v=0$
Dato che v non può essere il vettore nullo, abbiamo che $lambda_1=lambda_2$ il che contraddice l'ipotesi iniziale. Questo prova che non possa esistere un autovettore che appartiene a due autospazi diversi.
Alla fine ci sono arrivato anche io facendo questo ragionamento.
Se diciamo che \(\displaystyle \mathbf{u} \) è un \(\displaystyle \lambda \)-autovettore di \(\displaystyle C \), allora \(\displaystyle \mathbf{u}^*=(0,0,...,\mathbf{u}) \) è un \(\displaystyle \lambda \)-autovettore di della matrice \(\displaystyle \Lambda = S^T A S \), e quindi \(\displaystyle S \mathbf{u}^* \) è un \(\displaystyle \lambda \)-autovettore di \(\displaystyle A \). Di conseguenza \(\displaystyle S \mathbf{u}^* \) deve appartenere allo spazio generato da \(\displaystyle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r \), ma ciò per definizione di \(\displaystyle S \) vuol dire che i restanti vettori \(\displaystyle \mathbf{v}_{r+1},...,\mathbf{v}_n \) sono combinazione lineare dei primi \(\displaystyle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r \), assurdo per costruzione.
Vi ringrazio molto.
Se diciamo che \(\displaystyle \mathbf{u} \) è un \(\displaystyle \lambda \)-autovettore di \(\displaystyle C \), allora \(\displaystyle \mathbf{u}^*=(0,0,...,\mathbf{u}) \) è un \(\displaystyle \lambda \)-autovettore di della matrice \(\displaystyle \Lambda = S^T A S \), e quindi \(\displaystyle S \mathbf{u}^* \) è un \(\displaystyle \lambda \)-autovettore di \(\displaystyle A \). Di conseguenza \(\displaystyle S \mathbf{u}^* \) deve appartenere allo spazio generato da \(\displaystyle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r \), ma ciò per definizione di \(\displaystyle S \) vuol dire che i restanti vettori \(\displaystyle \mathbf{v}_{r+1},...,\mathbf{v}_n \) sono combinazione lineare dei primi \(\displaystyle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_r \), assurdo per costruzione.
Vi ringrazio molto.
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