Teorema spettrale e decomposizione spettrale additiva
Sia $A\inM_n(CC)$ una matrice normale.
Allora so dal teorema spettrale che $A=UDU^H$ dove $D=diag(lambda_1,...,lambda_n)$ con $lambda_i$ autovalore di A, $U=[u_1,...,u_n]$ matrice unitaria con $u_i$ autovettore relativo a $lambda_i$ e $U^H=[u_1^H,...,u_n^H]$ la trasposta coniugata di $U$.
Per ricavare la decomposizione spettrale additiva scrivo quindi che $UDU^H=lambda_1*u_1*u_1^H+...+lambda_n*u_n*u_n^H=lambda_1*P_1+...+lambda_n*P_n$, con $P_i$ matrice di proiezione sull'autospazio relativo a $lambda_i$.
Quello che non mi è chiaro è perchè nel primo passaggio di questa uguaglianza anzichè calcolare un prodotto di matrici riga per colonna calcolo un prodotto di matrici colonna per riga...mi date qualche illuminazione?
Allora so dal teorema spettrale che $A=UDU^H$ dove $D=diag(lambda_1,...,lambda_n)$ con $lambda_i$ autovalore di A, $U=[u_1,...,u_n]$ matrice unitaria con $u_i$ autovettore relativo a $lambda_i$ e $U^H=[u_1^H,...,u_n^H]$ la trasposta coniugata di $U$.
Per ricavare la decomposizione spettrale additiva scrivo quindi che $UDU^H=lambda_1*u_1*u_1^H+...+lambda_n*u_n*u_n^H=lambda_1*P_1+...+lambda_n*P_n$, con $P_i$ matrice di proiezione sull'autospazio relativo a $lambda_i$.
Quello che non mi è chiaro è perchè nel primo passaggio di questa uguaglianza anzichè calcolare un prodotto di matrici riga per colonna calcolo un prodotto di matrici colonna per riga...mi date qualche illuminazione?
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