Teorema Spettrale Complesso: alcuni chiarimenti

[filippograssi92]

Sia $(v,h)$ uno spazio Hermitiano e sia $f in End(V)$ sono fatti equivalenti:
- $f$ è normale;
- esiste una base di $V$ h-ortonormale costituita da autovettori di $f$.
Mi è chiaro che se $V$ ha dimensione 1 non c'è niente da dimostrare perché tutte le matrici di ordine 1 sono diagonali.
Se suppongo il teorema vero per sapzi di dimensione $n-1$ questo sarà valido per induzione anche per spazi di dimensione $n$. Prendo a questo punto $v$, un autovettore relativo a $\lambda$ che per comodità scelgo di norma pari a 1 (diversamente dovrei ortonormalizzarlo). Sono sicuro dell'esistenza di almeno un autovettore perché sono in $CC$. Definisco ora un s.s.v. $W=[v]^\bot$, questo avrà sicuramente dimensione $n-1$ poiché genera $V$ in somma diretta con $[v]$ e potrò quindi applicargli le Hp del teorema.

Perchè per procedere devo dimostrare che $f(w)inW$?

Perché questo risulta possibile solo se restringo $f$ a $W$?

In ogni caso sarà vero che $f(w)inW hArr h(f(w),v)=0$. Per l'Hp di normalità quest ultima scrittura la posso vedere come $h(w,f^**(v))$ che, sempre per l'Hp di normalità, sarà uguale a $h(w,\bar \lambda v)$ perciò avrò $\bar \lambda h(w,v)=0!$.Visto questo, per induzione posso dire che esiste una base di $W$ h-ortonormale costituita da autovettori di $f_(|w)$.

Perché posso dire che completando $v$ con questa base ottengo la base cercata? Infatti come posso dire che i $w_1, w_2...$ che compongono la base di $W$ sono autovettori di $f$ come richiede il secondo punto del teorema?

Grazie in anticipo ai volenterosi che risponderanno.

[dissonance]

Secondo me quel teorema è spiegato bene in questo pdf:

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q= ... kP5tyj9kyA