Teorema spettrale
Ho un dubbio su questo esercizio:
Sia $L_s:R^3 rarr R^3$ l'endomorfismo definito da
$S:=((2,2,1),(2,-1,-2),(1,-2,2))$
Dire se esso ha una base o. n. di autovettori e se sì determinarla.
Io ho fatto così: siccome all'endomorfismo è associata una matrice simmetrica allora anche l'endomorfismo sarà simmetrico e per il thm. spettrale esiste una base ortonormale in cui $S$ ha associata una matrice diagonale. Mi son trovato gli autovalori e i relativi autospazi ottenendo la base di autovettori di $S$
$B=span{(-1,2,1),(1,0,1),(2,1,0)}=:span{v_1, v_2,v_3}$ (userò questa nomenclatura). Mi sono calcolato i tre prodotti scalari e ho ottenuto che $v_1 \bot v_2 , v_1 \bot v_3$ ma $!=0$. Devo usare Gram Schimdt sulla base e trovarmi 3 nuovi vettori ortogonali equivalenti e poi normalizzarli o c'è un metodo più veloce che mi permette di lavorare solo sui vettori $v_2,v_3$ che mi creano problemi. Siate gentili so che probabilmente è una domanda stupida ma dato che lo abbiamo visto da poco e so che lavorare con G-S è un procedimento molto delicato per quanto riguarda i calcoli, vorrei fare meno calcoli possibili quando possibile.
Sia $L_s:R^3 rarr R^3$ l'endomorfismo definito da
$S:=((2,2,1),(2,-1,-2),(1,-2,2))$
Dire se esso ha una base o. n. di autovettori e se sì determinarla.
Io ho fatto così: siccome all'endomorfismo è associata una matrice simmetrica allora anche l'endomorfismo sarà simmetrico e per il thm. spettrale esiste una base ortonormale in cui $S$ ha associata una matrice diagonale. Mi son trovato gli autovalori e i relativi autospazi ottenendo la base di autovettori di $S$
$B=span{(-1,2,1),(1,0,1),(2,1,0)}=:span{v_1, v_2,v_3}$ (userò questa nomenclatura). Mi sono calcolato i tre prodotti scalari e ho ottenuto che $v_1 \bot v_2 , v_1 \bot v_3$ ma $
Risposte
Puoi esplicitare cortesemente gli autospazi di questo endomorfismo lineare?
Allora l'autospazio dell'autovalore $\lambda_1=3$ è (risolvendo $S*v=\lambda_1v, v=(x,y,z))$ è $V_-3=span{-1,2,1}$, mentre l'autospazio dell'autovalore $\lambda_2=-3$ dovrebbe essere, risolvendo il corrispettivo sistema $V_3=span{(2,1,0),(1,0,1)}$. Non so cosa intendi per esplicitare onestamente
Intendevo esattamente quello che hai scritto.
Usando la tua notazione: dovresti ortogonalizzare la base di \(V_3\).
Usando la tua notazione: dovresti ortogonalizzare la base di \(V_3\).
Finora non mi era mai capitato una cosa del genere (intendo ortogonalizzare solo l'autospazio di un autovalore). Eppure la base da ortogonalizzare in questo caso "vive" in $R^3$ e non $R^2$. Se mi potessi dare una spiegazione del tuo ragionamento mi saresti davvero di grande aiuto (il mio dubbio in parole semplici è: come facciamo a sapere che poi i due nuovi vettori saranno anche ortogonali a $v_1$ se l'algoritmo ci permette di ottenere un insieme di vettori mutuamente ortogonali e $v_1$ non fa parte della base ortogonalizzata?). L'unica risposta, a meno di qualche nozione teorica che non conosco, è che se ho due vettori non ortogonali tra loro ma perpendicolari ad un terzo, allora se ortogonalizzo i due vettori anche i loro ortogonalizzati saranno perpendicolari al terzo?
Ma è facile: tu già sai che \(\displaystyle V_i\perp V_j\), ove \(\displaystyle V_k\) è l'autospazio relativo all'autovalore \(\displaystyle\lambda_k\) di una matrice simmetrica \(\displaystyle A\) (a coefficienti reali).
Quindi per trovare una base ortogonale\ortonormale che diagonalizza \(\displaystyle A\) ti basta trovare delle basei orotogonali\ortonormali dei vari \(\displaystyle V_k\).
Ti è chiaro? Oppure devo spiegarmi meglio?
Non esitare a chiedere.
Quindi per trovare una base ortogonale\ortonormale che diagonalizza \(\displaystyle A\) ti basta trovare delle basei orotogonali\ortonormali dei vari \(\displaystyle V_k\).
Ti è chiaro? Oppure devo spiegarmi meglio?
Non esitare a chiedere.
Allora, se ho capito bene cosa hai scritto e avendo rivisto la teoria sulle basi ortogonali, posso dire che gli autovettori di una matrice simmetrica sono a due a due ortogonali. Poi, presa una base ortogonale di $v_n$ vettori la def. di base ortogonale ci dice che i suoi vettori devono essere a due a due ortogonali (formalmente $v_i \bot v_j rarr =0$ per $i!=j<=n$). Di conseguenza io nel caso particolare dell'esercizio devo solo fare in modo che tutti gli autovettori siano a due a due ortogonali(in particolare nel nostro caso la base formata dagli autovettori di $V_3$ perché le altre lo sono già). Il mio dubbio però è questo come faccio a sapere che il nuovo vettore trovato conserverà l'ortogonalità rispetto a prima(io sapevo che $v_3$ era $\bot v_1$ ma il $w_3$, ottenuto con G-S, conserva tale caratteristica)? Ho ancora altre domande se posso farle:
l'algoritmo ci dice questo: se ho $v_1, ..., v_n$ vettori lin.ind allora esistono $w_1,..., w_n$ vettori e ognuno dei $w_j$ è ortogonale a ogni elemento dello span$(w_1, ..., w_(j-1))$ (non ho mai capito perché gli indici vanno da $1$ a $j-1$). Dunque ci sta dicendo che se ho una base da ortogonalizzare devo applicare, NECESSARIAMENTE, l'algoritmo a tutti gli elementi della base (ovviamente il primo rimane uguale per il procedimento stesso)?
Conclusione: o l'algoritmo non copre il caso in cui la base di partenza contenga già coppie di vettori ortogonali (come nell'esercizio) oppure (che suppongo sia la via migliore e quella che mi stai consigliando anche tu) se alcuni dei vettori sono già ortogonali tra loro mi basta ortogonalizzare le basi, chiamiamole, "minori" (nel senso che contengono meno vettori di quella di partenza) che non lo sono, essendo certo del fatto che l'unione sarà una base equivalente a quella originaria ma ortogonale.
l'algoritmo ci dice questo: se ho $v_1, ..., v_n$ vettori lin.ind allora esistono $w_1,..., w_n$ vettori e ognuno dei $w_j$ è ortogonale a ogni elemento dello span$(w_1, ..., w_(j-1))$ (non ho mai capito perché gli indici vanno da $1$ a $j-1$). Dunque ci sta dicendo che se ho una base da ortogonalizzare devo applicare, NECESSARIAMENTE, l'algoritmo a tutti gli elementi della base (ovviamente il primo rimane uguale per il procedimento stesso)?
Conclusione: o l'algoritmo non copre il caso in cui la base di partenza contenga già coppie di vettori ortogonali (come nell'esercizio) oppure (che suppongo sia la via migliore e quella che mi stai consigliando anche tu) se alcuni dei vettori sono già ortogonali tra loro mi basta ortogonalizzare le basi, chiamiamole, "minori" (nel senso che contengono meno vettori di quella di partenza) che non lo sono, essendo certo del fatto che l'unione sarà una base equivalente a quella originaria ma ortogonale.
Lo so motlo probabilmente mi sfugge qualcosa dalla teoria (in quel caso scusami j18eos algebra lineare è la mia criptonite) o probabilmente sto rendendo io tutto molto contorto e complicato. Ultima cosa: Il tuo metodo consiste nell'aggirare il problema ortogonalizzando direttamente gli autospazi, invece che la base di autovettori ottenuta mettendo in colonna i vettori degli autospazi, però ciò è fattibile solo se sto lavorando con una matrice simmetrica giusto?
Se la matrice è simmetrica, il teorema spettrale ci garantisce che tutti i suoi autovalori sono reali e che la matrice sia diagonalizzabile. Poiché si dimostra (assai facilmente) che ad autovalori distinti corrispondono autospazi fra loro ortogonali, è sempre possibile trovare una matrice di cambiamento di base composta da autovettori ortonormali.
Se ad un autovalore corrisponde un autospazio di dimensione n=1, allora questa retta sarà ortogonale a tutti gli altri autospazio e basterà normalizzare l'autovettore e tenerlo da parte. Se invece n>1 possiamo sempre scegliere/trovare una base ortonormale per questo autospazi. Questo è vero per qualsiasi matrice diagonalizzabile. La differenza è che sarebbe inutile trovare una base ortonormale per un dato autospazio se poi gli altri autospazio non sono ortogonali al primo.
Mica si possono cambiare gli autospazio. Quindi la base ortonormale è garantita solo per matrici simmetriche.
Se ad un autovalore corrisponde un autospazio di dimensione n=1, allora questa retta sarà ortogonale a tutti gli altri autospazio e basterà normalizzare l'autovettore e tenerlo da parte. Se invece n>1 possiamo sempre scegliere/trovare una base ortonormale per questo autospazi. Questo è vero per qualsiasi matrice diagonalizzabile. La differenza è che sarebbe inutile trovare una base ortonormale per un dato autospazio se poi gli altri autospazio non sono ortogonali al primo.
Mica si possono cambiare gli autospazio. Quindi la base ortonormale è garantita solo per matrici simmetriche.
"SteezyMenchi":Gli autovettori relativi ad autovalori distinti di una matrice reale simmetrica \(\displaystyle A\) sono a due a due ortogonali!
[...]posso dire che gli autovettori di una matrice simmetrica sono a due a due ortogonali.[...]
Nel tuo caso, sai che i vettori di \(\displaystyle V_1\) e \(\displaystyle V_3\) già sono ortogonali tra di loro, quindi devi solo trovare una base ortogonale di \(\displaystyle V_3\); e come hai capìto: basta ortogonalizzare una qualsiasi base di \(\displaystyle V_3\) utilizzando Gram-Schmidt. La base così ottenuta è ancóra una base di \(\displaystyle V_3\), è composta da autovettori per la matrice \(\displaystyle A\), e questi sono già ortgonali a un generatore di \(\displaystyle V_1\).
Ti è più chiaro adesso?
Capito, quindi alla fine di questa lunga discussione si ricava ciò:
1-)lavoro solo sull'autospazio $V_3$ (che ha $dim n=2$) perché la base ortogonalizzata di $V_3$ sarà sicuramente ortogonale a quella di $V_(-3)$ (siccome quest'ultima ha dimensione $n=1$ è sempre ortogonale) agli altri autospazi.
2-)questa è una riflessione generale: se mi trovo davanti ad una matrice simmetrica e trovo che gli autovalori hanno tutti molteplicità algebrica( e quindi geom.) $1$ e quindi i relativi autospazi hanno $dim=1$ io posso stare sicuro che il prodotto, a due a due, tra gli autovettori sarà uguale a $0$ e quindi posso passare direttamente a normalizzarli senza verificare l'ortogonalità
3-)Se invece, come in questo caso, la matrice simmetrica presenta autospazi con dimensione $n>1$ allora devo controllare che gli autovettori siano tra loro ortogonali e, in caso negativo, renderli tali con G-S. Poi potrò normalizzarli.
Per favore ditemi che ciò che ho scritto è giusto così mi appunto tutto ciò sul quaderno. In ogni caso non posso che ringraziare entrambi per la pazienza e l'aiuto offerto
P.S. Ho trovato un esercizio simile dove la matrice presenta autospazi di dimensione unitaria e gli autovettori risultano già ortogonali (come affermato da Bokonon)
1-)lavoro solo sull'autospazio $V_3$ (che ha $dim n=2$) perché la base ortogonalizzata di $V_3$ sarà sicuramente ortogonale a quella di $V_(-3)$ (siccome quest'ultima ha dimensione $n=1$ è sempre ortogonale) agli altri autospazi.
2-)questa è una riflessione generale: se mi trovo davanti ad una matrice simmetrica e trovo che gli autovalori hanno tutti molteplicità algebrica( e quindi geom.) $1$ e quindi i relativi autospazi hanno $dim=1$ io posso stare sicuro che il prodotto, a due a due, tra gli autovettori sarà uguale a $0$ e quindi posso passare direttamente a normalizzarli senza verificare l'ortogonalità
3-)Se invece, come in questo caso, la matrice simmetrica presenta autospazi con dimensione $n>1$ allora devo controllare che gli autovettori siano tra loro ortogonali e, in caso negativo, renderli tali con G-S. Poi potrò normalizzarli.
Per favore ditemi che ciò che ho scritto è giusto così mi appunto tutto ciò sul quaderno. In ogni caso non posso che ringraziare entrambi per la pazienza e l'aiuto offerto
P.S. Ho trovato un esercizio simile dove la matrice presenta autospazi di dimensione unitaria e gli autovettori risultano già ortogonali (come affermato da Bokonon)
Tutto corretto, però le spiegazioni terra terra non sostituiscono quelle formali! Tienilo a mente
P.S. comunque negli esercizi controlla che gli autospazi siano ortogonali. È un buon check per controllare di aver ricavato gli autovettori corretti
P.S. comunque negli esercizi controlla che gli autospazi siano ortogonali. È un buon check per controllare di aver ricavato gli autovettori corretti
Grazie dei suggerimenti Bokonon li terrò a mente d'ora in poi
@SteezyMenchi Sì; ma non svolgere gli esercizi come un automa!
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