[Teorema] Set di vettori e' massimale sse e' una base.
Enunciato: sia \(V_{\mathbb{K}}\) sp. vettoriale. \(\{ \overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n \} \subset V\) e' un sistema massimale di vettori liberi sse \(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\}\) e' una base per \(V\).
Mi chiedo se funzioni la dimostrazione seguente ...
Implicazione inversa: \(\dim{V} = n\), i.e. \(\forall \{ \overline{v}_i\}_{i \in I}\), tale che \(|\{\overline{v}_i\}_{i \in I}| > n\), si ha \(\{\overline{v}_i\}_{i \in I}\) linearmente dipendente; questa e' anche la definizione di sistema massimale di \(n\) vettori liberi.
Implicazione diretta: mi basta verificare che \(\{\overline{v}_i\}_{i \in I}\) generi \(V\). Sia per assurdo \(\overline{v}' \in V\) t.c. \(\overline{v}' \notin span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\})\).
Allora \(\exists \{\overline{w}_1, \dots, \overline{w}_r\} \subset V\) tc. \(\overline{v}' \in span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\} \cup \{\overline{w}_1, \dots, \overline{w}_r\})\).
Necessariamente in \(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\} \cup \{\overline{w}_1, \dots, \overline{w}_r\}\) dev'esserci almeno un vettore dipendente dai rimanenti -per definizione di sistema massimale; sia questo, a meno di un riordinamento, \(\overline{w}_r\).
Allora \(span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\} \cup \{\overline{w}_1, \dots, \overline{w}_r\}) = span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\} \cup \{\overline{w}_1, \dots, \overline{w}_{r -1}\})\).
Itero questa `esclusione` ancora \(r -1\) volte fino a scrivere \(\overline{v}' \in span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\})\); assurdo.
Quindi \(span\{\overline{v}_i\}_{i \in I} = V \), i.e. \(\{\overline{v}_i\}_{i \in I}\) e' una base di \(V \).
Che dite?
Grazie per l'attenzione!
Mi chiedo se funzioni la dimostrazione seguente ...
Implicazione inversa: \(\dim{V} = n\), i.e. \(\forall \{ \overline{v}_i\}_{i \in I}\), tale che \(|\{\overline{v}_i\}_{i \in I}| > n\), si ha \(\{\overline{v}_i\}_{i \in I}\) linearmente dipendente; questa e' anche la definizione di sistema massimale di \(n\) vettori liberi.
Implicazione diretta: mi basta verificare che \(\{\overline{v}_i\}_{i \in I}\) generi \(V\). Sia per assurdo \(\overline{v}' \in V\) t.c. \(\overline{v}' \notin span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\})\).
Allora \(\exists \{\overline{w}_1, \dots, \overline{w}_r\} \subset V\) tc. \(\overline{v}' \in span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\} \cup \{\overline{w}_1, \dots, \overline{w}_r\})\).
Necessariamente in \(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\} \cup \{\overline{w}_1, \dots, \overline{w}_r\}\) dev'esserci almeno un vettore dipendente dai rimanenti -per definizione di sistema massimale; sia questo, a meno di un riordinamento, \(\overline{w}_r\).
Allora \(span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\} \cup \{\overline{w}_1, \dots, \overline{w}_r\}) = span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\} \cup \{\overline{w}_1, \dots, \overline{w}_{r -1}\})\).
Itero questa `esclusione` ancora \(r -1\) volte fino a scrivere \(\overline{v}' \in span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\})\); assurdo.
Quindi \(span\{\overline{v}_i\}_{i \in I} = V \), i.e. \(\{\overline{v}_i\}_{i \in I}\) e' una base di \(V \).
Che dite?
Grazie per l'attenzione!
Risposte
Implicazione inversa:
se \(\displaystyle b \) è una base allora ogni altro \(\displaystyle v \in V \) si può scrivere come combinazione lineare di elementi di \(\displaystyle b \), quindi ogni vettore che aggiungo è dipendente dagli altri, quindi b è un insieme massimale di vettori liberi. (La dimostrazione che dai tu mi sembra un po' tautologica)
allora \(\displaystyle \overline{v}' \) non è linearmente dipendente dal sistema massimale di vettori liberi, assurdo.
se \(\displaystyle b \) è una base allora ogni altro \(\displaystyle v \in V \) si può scrivere come combinazione lineare di elementi di \(\displaystyle b \), quindi ogni vettore che aggiungo è dipendente dagli altri, quindi b è un insieme massimale di vettori liberi. (La dimostrazione che dai tu mi sembra un po' tautologica)
Implicazione diretta: mi basta verificare che \(\{\overline{v}_i\}_{i \in I}\) generi \(V\). Sia per assurdo \(\overline{v}' \in V\) t.c. \(\overline{v}' \notin span(\{\overline{v}_1, \dots, \overline{v}_n\})\).
allora \(\displaystyle \overline{v}' \) non è linearmente dipendente dal sistema massimale di vettori liberi, assurdo.
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