Teorema Rouchè-Capelli e Kronecker

[AndreaMate.11]

Ciao, devo risolvere questo esercizio.
Determinare per quali valori di t, il sistema Ax=b ha soluzione e determinare esplicitamente la soluzione.

$ A ( ( -1 , 3 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 2t+1 ) ) $

$ b= ( ( 2 ), ( 1 ), ( 5 ) ) $

Il teorema di Rouchè-Capelli dice che per avere una soluzione $ rg(A)=rg(A|b) $

Riducendo a scala viene A|b $ A ( ( -1 , 3 , 0,|2 ),( 0 , 5 , -1,|3 ),( 0 , 0 , 2t+1, |5 ) ) $

Quindi se t ≠ -1/2 rg(A)=rg(A|b)=3 per cui per t ≠ -1/2 posso trovare le soluzioni
Se t=-1/2 rg(A)=2 e rg(A|b)=3 il sistema non ha soluzioni

Però volevo capire perché con Kronecker non mi viene, visto che è un metodo molto più veloce.

Se prendo la matrice A e calcolo il determinante del minore 2x2 $ ( ( -1 , 3 ),( 1 , 2 ) ) $ il determinante è ≠ 0, quindi rango>=2

calcolo il determinante di $ A ( ( -1 , 3 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 2t+1 ) ) $ e viene $ -10t - 5 $
Kromacker dice che se il det=0 il rango è 2, quindi se t=-1/2 det=0, se t ≠ -1/2 il rango è massimo, quindi 3. (fin qua è corretto come con la riduzione a scala).

Ora calcolo il rango della matrice A|b $ A ( ( -1 , 3 , 0,|2 ),( 0 , 5 , -1,|3 ),( 0 , 0 , 2t+1, |5 ) ) $
è una matrice 3x4, per cui il rango massimo non è 3? Ho solo aggiunta una colonna senza incognite, quindi il teorema di kronecker lo svolgerei in modo identico come ho fatto con la matrice A però cosi mi viene che i ranghi di A e A|b sono sempre uguali, per cui ho soluzioni per ogni t.

Quindi mi spiegate perchè riducendo a scala viene diversamente da kronecker? forse non è corretto considerare (A|b) come una normale 3x4 con Kronecker?

Grazie a chi mi risponde

[ivan.capponi]

Ciao
Per esperienza ho sempre preferito studiare la compatibilità del sistema utilizzando il teorema di Kronecker senza prima ridurre a scalini la matrice data.
Puoi utilizzare Kronecker per qualsiasi tipo di matrice, non necessariamente quadrata, quindi non preoccuparti!
Considera la matrice completa:

$ ( ( -1 , 3 , 0 , 2 ),( 1 , 2 , -1 , 2 ),( 0 , 0 , 2t+1 , 5 ) ) $

Come hai ben notato, in questa matrice sono contenuti minori di ordine massimo pari a 3, quindi il rango massimo della matrice, logicamente, sarà 3.
Si vede ad occhio che il rango della matrice è almeno 2. Considera allora questo minore:

$ ( ( -1 , 3 , 2 ),( 1 , 2 , 2 ),( 0 , 0 , 5 ) ) $

Il determinante di questo minore non è nullo, quindi la caratteristica della matrice completa è sempre 3.
Considera ora la matrice incompleta:

$ ( ( -1 , 3 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 2t+1 ) ) $

Anche qui, si vede ad occhio che il suo rango è almeno 2.
Calcolando il suo determinante si ottiene: $-10t-5$
Quindi il determinante si annulla quando $t=-1/2$

Quindi, per $t=-1/2$ le due caratteristiche non coincidono ed il sistema non ammette soluzioni.
Per qualsiasi altro valore di $t$ il rango delle due matrici è sempre pari a 3, ed il sistema è sempre compatibile. In particolare, essendo il numero di incognite pari al rango delle due matrici, il sistema ammetterà una sola soluzione.
Ti risulta?

[AndreaMate.11]

Ciao, grazie della risposta ma non ho ben capito.
Perchè hai calcolato il rango di questo minore? $ ( ( -1 , 3 , 2 ),( 1 , 2 , 2 ),( 0 , 0 , 5 ) ) $
Io volevo usare il teorema di rouchè-capelli, quindi puoi fare la stessa cosa confrontando i ranghi con la matrice di $A ( ( -1 , 3 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 2t+1 ) ) $ e con il rango di (A|b) $ ( ( -1 , 3 , 0,|2 ),( 0 , 5 , -1,|3 ),( 0 , 0 , 2t+1, |5 ) ) $ ? A me sembra che così i ranghi di A e A|b siano sempre uguali, per cui ho soluzioni per ogni t.

Non conoscevo il fatto di considerare un minore 3x3 qualsiasi, con il tuo metodo risulta corretto, però in teoria dovrebbe risultare anche confrontando i ranghi di A con (A|b), però appunto se aggiungo la colonna b, per il teorema di Kronecker non cambierebbe niente, quindi soluzioni per ogni t, ma così non viene l'esercizio

Non so se hai capito, (o forse non ho capito io il teorema), ma il teorema di rouchè-capelli dice che il sistema ha soluzione solo se Rango(A)=Rango(A|b)
Calcolando questi due ranghi peró, quell'equazione viene vera per ogni t, peró la soluzione dice che il sistema ha soluzione tranne che per t=-1/2
Quindi potresti calcolare il rango di A e poi di (A|b)? Grazie

[ivan.capponi]

Certamente.
Consideriamo le tue due matrici e calcoliamone il rango.

$ A=( ( -1 , 3 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 2t+1 ) ) $

Utilizziamo il teorema di Kronecker per calcolare il rango di questa matrice.
Iniziamo determinando un minore di ordine 2 (sottomatrice 2x2 della matrice $A$) il cui determinante non sia nullo:

$ ( ( -1 , 3 ),( 1 , 2 ) ) $

Il determinante di questo minore è pari a $-5$, non nullo, quindi il rango è almeno due.
Dobbiamo controllare se il rango di questa matrice è 3. Prendiamo il minore che abbiamo analizzato, aggiungiamoci una riga ed una colonna e formiamo un minore di ordine 3. Possiamo fare questo lavoro in un solo modo possibile, ossia aggiungendo a questo minore la terza riga e la terza colonna, ottenendo l'unico minore di ordine 3 possibile (che coincide con la matrice stessa):

$( ( -1 , 3 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 2t+1 ) ) $

Il determinante di questo minore si annulla solo quando $t=-1/2$, quindi per qualsiasi altro valore di $t$ il rango di questa matrice è pari a 3, nel caso $t=-1/2$ è pari a 2.

Ora consideriamo la matrice $(A|b)$:

$ ( ( -1 , 3 , 0 , 2 ),( 0 , 5 , -1 , 3 ),( 0 , 0 , 2t+1 , 5 ) ) $

Il rango di questa matrice è almeno 2, infatti il minore:

$ ( ( -1 , 3 ),( 0 , 5 ) ) $

non ha determinante nullo. Da questo minore possiamo formare due differenti minori di ordine 3. Il primo aggiungendo al minore identificato la terza riga e la terza colonna, l'altro aggiungendo al minore identificato la terza riga e la quarta colonna. 'E' sufficiente che uno di questi due minori abbia determinante non nullo per stabilire che la caratteristica della matrice $(A|b)$ sia pari a 3.

I due minori, rispettivamente, sono questi:

$ ( ( -1 , 3 , 0 ),( 0 , 5 , -1 ),( 0 , 0 , 2t+1 ) ) $ , $ ( ( -1 , 3 , 2 ),( 0 , 5 , 3 ),( 0 , 0 , 5 ) ) $

Considera il secondo minore, questo ha determinante non nullo, ed è sufficiente per stabilire che la matrice $(A|b)$ abbia rango pari a 3.

Ora utilizziamo Rouché-Capelli: Il sistema dato ammette soluzioni se e solo se le caratteristiche delle due matrici coincidono. Abbiamo stabilito che la caratteristica di $(A|b)$ è sempre 3, mentre quella della matrice $A$ è 3 solo quando il valore di $t$ non è $-1/2$. Quindi, per valori di $t$ diversi da quello citato, il sistema ammette soluzione.

[AndreaMate.11]

Grazie, quindi quando calcolo il rango di (A|b), A deve essere ridotta a scala? Non lo sapevo, credevo bastasse aggiungere la colonna ad A (anche non ridotta a scala) e calcolarne direttamente il rango, perchè poi credevo che quelle operazioni che fai per ridurla a scala non cambiassero il rango o altre proprietà.

[ivan.capponi]

E' indifferente, ridotte a scala o no il loro rango non muta.
Prova a rifare il procedimento sulle matrici non ridotte a scala, vedrai che viene ugualmente. Per entrambi le matrice individua un minore di ordine 2 il cui determinante non sia nullo, da questi componi tutti i minori di ordine 3 possibili, se almeno uno di questi ha determinante non nullo, allora la matrice in analisi ha rango $>= 3$, da questo minore di ordine 3 componi tutti i minori di ordine 4 possibili e così via, finché non individui il rango.
Se è la prima volta che hai a che fare con questo teorema possa capirti, non è facilissimo comprenderlo all'inizio.
Ti rimando all'esercizio 3 di questo documento, viene svolto dettagliatamente il teorema di Kronecker: https://www.dropbox.com/s/7tdrem5jjkjf7 ... 6.pdf?dl=0

Se hai altri problemi fammi sapere.

[AndreaMate.11]

Ma ha senso considerari i minori di ordine 4 in questo caso? Visto che il rango massimo è il minimo tra il numero delle colonne e di righe, e qua è 3. È per questo che non mi tornano i conti perchè con (A|b) sto aggiungendo una colonna senza incognite, quindi non cambia niente per Kromacker dal calcolare il rango della matrice di partenza A.
Peró forse ho capito, nel senso che con kromacker ti fermi se trovi il determinante = a 0 di un minore di ordine 3 (o sbaglio? Io avevo capito che bastava trovarne uno. Significa che il rango sarà 2 se ho trovato il det di un minore di 2 non nullo), ma qua c'è una incognita t, quindi devo trovare il determinante anche dell'altro minore di 3?

[ivan.capponi]

No, infatti non ha senso in questo caso: esistono solo minori di ordine 3, era per farti capire in generale come procedere. Non importa che le colonne aggiunte non abbiano incognite, hai semplicemente aggiunto alla matrice il vettore dei termini noti, ed è probabile che abbia rango differente rispetto alla matrice di partenza.

[Magma1]

"AndreaMate.":
[...] confrontando i ranghi con la matrice di

$A ( ( -1 , 3 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 2t+1 ) ) $ e $(A|b)= ( ( -1 , 3 , 0,|2 ),( 1 , 2 , -1,|1 ),( 0 , 0 , 2t+1,|5) ) ) $

A me sembra che così i ranghi di A e A|b siano sempre uguali, per cui ho soluzioni per ogni t.

Per calcolare il rango in genere riduco prima a scalini perché poi è immediato [nota]Infatti il rango di una matrice ridotta è uguale al numero di righe non nulle[/nota].

Quindi (assumendo che la tua riduzione sia giusta):

$ A'= ( ( -1 , 3 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 2t+1 ) )$ e $(A|b)'= ( ( -1 , 3 , 0,|2 ),( 0 , 5 , -1,|3 ),( 0 , 0 , 2t+1, |5 ) ) $

ovviamente le matrici trovate dopo la riduzione sono equivalenti pertanto $r(A)=r(A')$, $r(A|b)=r(A|b)'$.

Ora,

$r(A)={ ( 2 ; t=1/2 ),( 3; t ne-1/2 ):}$

$(A|b)=3 AA t in RR$

Quindi Il sistema è compatibile, cioè: $r(A)=r(A|b) hArr tne-1/2$

Mentre per $t=-1/2, r(A)

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