Teorema: molteplicità algebrica e geometrica di un autovalor
Buonasera a chiunque mi legga,
scrivo per chiedere chiarimenti riguardo un teorema che ho trovato sul mio libro "Un'introduzione all'algebra lineare - Lomonaco".
Il teorema è il seguente:
Mi scuso moltissimo per la qualità delle immagini, ma non posseggo uno scanner.
Venendo al dunque:
Il teorema vuole dimostrare che, dato un endomorfismo qualunque, la molteplicità algebrica dei suoi autovalori Lambda sarà sempre minore o uguale di quella geometrica.
Quello che non mi è chiaro è esattamente l'ultimo rigo, quello in cui afferma che "...è una radice di p di molteplicità almeno t".
Ma come almeno?? Da quello che vedo io lambda può essere di molteplicità AL PIÙ t. Infatti il polinomio subito sopra tale affermazione, parla chiaro: $(Lambda-x)^t det(K-xI..)$ In un tale polinomio di grado "t", come può essere la molteplicità algebrica di una sua radice "almeno" t???
Grazie a chiunque voglia rispondermi.
scrivo per chiedere chiarimenti riguardo un teorema che ho trovato sul mio libro "Un'introduzione all'algebra lineare - Lomonaco".
Il teorema è il seguente:
Mi scuso moltissimo per la qualità delle immagini, ma non posseggo uno scanner.
Venendo al dunque:
Il teorema vuole dimostrare che, dato un endomorfismo qualunque, la molteplicità algebrica dei suoi autovalori Lambda sarà sempre minore o uguale di quella geometrica.
Quello che non mi è chiaro è esattamente l'ultimo rigo, quello in cui afferma che "...è una radice di p di molteplicità almeno t".
Ma come almeno?? Da quello che vedo io lambda può essere di molteplicità AL PIÙ t. Infatti il polinomio subito sopra tale affermazione, parla chiaro: $(Lambda-x)^t det(K-xI..)$ In un tale polinomio di grado "t", come può essere la molteplicità algebrica di una sua radice "almeno" t???
Grazie a chiunque voglia rispondermi.
Risposte
Ricapitoliamo:
Hai il polinomio [tex]p(x)=(\lambda-x)^t\det(K-xI_{n-t})[/tex] di grado [tex]n[/tex].
Vuoi capire perchè [tex]\lambda[/tex] è radice di [tex]p(x)[/tex] con molteplicità almeno [tex]t[/tex]
Che significa per un numero [tex]x_0[/tex] essere radice con molteplicità [tex]s[/tex]?
Significa che [tex]p(x)=(x-x_0)^sq(x)[/tex] con [tex]q(x_0)\neq 0[/tex].
Ora veniamo a noi.
Sia [tex]s[/tex] la molteplicità algebrica di [tex]\lambda[/tex] come radice del polinomio caratteristico [tex]p(x)[/tex].
Si ha che
(1) [tex]p(x)=(x-\lambda)^sq(x)[/tex] con [tex]q(\lambda)\neq 0[/tex] (per definizione di molteplicità)
(2) [tex]p(x)=(\lambda-x)^t\det(K-xI_{n-t})[/tex]
Confrontando (1) e (2), si ha che
[tex](x-\lambda)^sq(x)=(\lambda-x)^t\det(K-xI_{n-t})[/tex].
Se fosse [tex]s
da cui
[tex]q(\lambda)=(\lambda-\lambda)^{t-s}\det(K-\lambda I_{n-t})=0[/tex]
contro l'ipotesi che [tex]q(\lambda)\neq 0[/tex].
Quindi deve essere [tex]t\leq s[/tex], ovvero la molteplicità algebrica [tex]s[/tex] è almeno [tex]t[/tex].
Ho risolto il tuo dubbio?
Hai il polinomio [tex]p(x)=(\lambda-x)^t\det(K-xI_{n-t})[/tex] di grado [tex]n[/tex].
Vuoi capire perchè [tex]\lambda[/tex] è radice di [tex]p(x)[/tex] con molteplicità almeno [tex]t[/tex]
Che significa per un numero [tex]x_0[/tex] essere radice con molteplicità [tex]s[/tex]?
Significa che [tex]p(x)=(x-x_0)^sq(x)[/tex] con [tex]q(x_0)\neq 0[/tex].
Ora veniamo a noi.
Sia [tex]s[/tex] la molteplicità algebrica di [tex]\lambda[/tex] come radice del polinomio caratteristico [tex]p(x)[/tex].
Si ha che
(1) [tex]p(x)=(x-\lambda)^sq(x)[/tex] con [tex]q(\lambda)\neq 0[/tex] (per definizione di molteplicità)
(2) [tex]p(x)=(\lambda-x)^t\det(K-xI_{n-t})[/tex]
Confrontando (1) e (2), si ha che
[tex](x-\lambda)^sq(x)=(\lambda-x)^t\det(K-xI_{n-t})[/tex].
Se fosse [tex]s
da cui
[tex]q(\lambda)=(\lambda-\lambda)^{t-s}\det(K-\lambda I_{n-t})=0[/tex]
contro l'ipotesi che [tex]q(\lambda)\neq 0[/tex].
Quindi deve essere [tex]t\leq s[/tex], ovvero la molteplicità algebrica [tex]s[/tex] è almeno [tex]t[/tex].
Ho risolto il tuo dubbio?
Ehi grazie mille per la risposta, sei stato chiarissimo!!!
Ci medito un attimo su e ti faccio sapere !
Ci medito un attimo su e ti faccio sapere !
Grazie, ho metabolizzato 
Tutto torna!
Francesco
Tutto torna!
Francesco
Salve ragazzi 
mi rendo conto che il post sia di un po' di tempo fa ma: siccome uso anch'io lo stesso libro, l'argomento della mia domanda è riferito proprio alla dimostrazione di tale teorema e inoltre vorrei evitare di scrivere un nuovo post, vi pongo qui la mia domanda.
Nella dimostrazione si ipotizza che: esista una base ordinata del sottospazio $ V_lambda $ e che vi sia anche una base $ B $ ordinata di $ V $ ottenuta completando la base $ B_lambda $ di $ V_lambda $.
Ed è qui che casca l'asino infatti quando poi si va a scrivere il primo blocco della matrice $ A $ si ha che $ A=( ( lambda , 0 , .. , .. , ... , 0 ),( 0 , lambda , .. , .. , ... , 0 ),( . , ., . , .. , ... , .),( . , . , .. , . , ... , .),( . , . , .. , .. , . , . ),( 0 , 0 , .. , .. , ... , lambda ) ) $
ma allora i vettori della base $ B_lambda $ e quelli di $ B $ sono i vettori della base canonica?
Vi ringrazio per la vostra disponibilità (di cui ho approfittato più di una volta) .
mi rendo conto che il post sia di un po' di tempo fa ma: siccome uso anch'io lo stesso libro, l'argomento della mia domanda è riferito proprio alla dimostrazione di tale teorema e inoltre vorrei evitare di scrivere un nuovo post, vi pongo qui la mia domanda.Nella dimostrazione si ipotizza che: esista una base ordinata del sottospazio $ V_lambda $ e che vi sia anche una base $ B $ ordinata di $ V $ ottenuta completando la base $ B_lambda $ di $ V_lambda $.
Ed è qui che casca l'asino
infatti quando poi si va a scrivere il primo blocco della matrice $ A $ si ha che $ A=( ( lambda , 0 , .. , .. , ... , 0 ),( 0 , lambda , .. , .. , ... , 0 ),( . , ., . , .. , ... , .),( . , . , .. , . , ... , .),( . , . , .. , .. , . , . ),( 0 , 0 , .. , .. , ... , lambda ) ) $ ma allora i vettori della base $ B_lambda $ e quelli di $ B $ sono i vettori della base canonica?
Vi ringrazio per la vostra disponibilità (di cui ho approfittato più di una volta)
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