Teorema Grassman: dimensione del sottospazio somma

[Della921]

il teorema di Grassman
http://www.dmi.univ.trieste.it/geo-ing/ ... 131011.pdf
pagina 35/36.
Il teorema si impone di dimostrare che esiste una base di U+W costituiti da s+r-p elementi, con r = dim(U), s=dim(W) e p = dim(U ∩ W)

Sia $(v1, . . . , vp)$ una base di $U ∩ W$; è possibile completare tale insieme libero per il teor. di completamento.
ad una base $(v(1), . . . , v(p), u(1), . . . , u (r−p))$ di U e ad una base $(v(1), . . . , v(p), w(1), . . . , w(s−p))$ di W.
Proviamo che $I = (v(1), . . . , v(p), u(1), . . . , u(r−p), w(1), . . . , w(s−p))$ è una base dello spazio vettoriale $U +W.$
Poichè ogni vettore di $U + W$ è della forma $ u + w,$ con $u ∈ U $e $w ∈ W$ e poichè $u$ si scrive
come combinazione lineare di $v(1), . . . , v(p), u(1), . . . , u(r−p)$ e $w$ si scrive come combinazione lineare di
$v(1), . . . , v(p), w(1), . . . , w(s−p)$ ovviamente $I$ genera $ U + W.$
Sono d'accordo sul fatto che l'insieme I trovato è una base per il sottospazio somma, i problemi arrivano dopo.
Una volta data la combinazione lineare
$α(1)v(1) + · · · + α(p)v(p) + β(1)u(1) + · · · + β(r−p)u(r−p) + γ(1)w(1) + · · · + γ(s−p)w(s−p) = 0V $
il teorema afferma che
$ v + u + w = 0V $ , con $v ∈ U ∩ W, u ∈ U, w ∈ W.$
Avendo individuato con v la sommatoria degli alfa*v, u la sommatoria dei beta u ecc ecc..
E sono d'accordo. Ora giungiamo al punto incriminato
Visto che $v, u ∈ U$, allora $w = −v − u ∈ U$; dunque $w ∈ (U ∩ W)$
PERCHE' $w ∈ (U ∩ W)$??
Il teorema continua:
Ciò implica che
$w = γ(1)w(1) + · · · + γ(s−p)w(s−p) = λ(1)v(1) + · · · + λ(p)v(p)$
per opportuni scalari $λi$
; ma ${v(1), . . . , v(p), w(1), . . . , w(s−p)} $ è un insieme libero, quindi tutti i $γk$ sono
nulli. Basta dunque provare che da
$α(1)v(1) + · · · + α(p)v(p) + β(1)u(1) + · · · + β(r−p)u(r−p) = 0V$
segue che tutti i coefficienti αi e βj sono nulli; ma ciò`e vero in quanto $(v(1), . . . , v(p), u(1), . . . , u(r−p))$ `e
una base di U.
Pertanto I è un insieme libero.

Tutto chiaro tranne che schifoso passaggio! Grazie!

[Riccardo Desimini]

"Della92":Il teorema afferma che
$ v + u + w = 0_V $ , con $v ∈ U ∩ W, u ∈ U, w ∈ W.$

Qui dice che $ \mathbf{w} \in W $.

"Della92":Ora giungiamo al punto incriminato
Visto che $v, u ∈ U$, allora $w = −v − u ∈ U$; dunque $w ∈ (U ∩ W)$
PERCHE' $w ∈ (U ∩ W)$??

E qui dice che $ \mathbf{w} \in U $. Appartenendo sia a $ W $ che a $ U $, $ \mathbf{w} \in U \cap W $.

[Della921]

Semplicemente per questo? allora era molto più semplice di quello che pensavo! Grazie!:)