Teorema di Tychonoff nel caso finito

[blunotte]

Altro esercizio di topologia!
Devo dimostrare che dati $X, Y$ spazi topologici compatti allora $X xx Y$ è compatto.
Si tratta del teorema di Tychonoff nel caso di soli due spazi.

Ho una traccia di quella che dovrebbe essere la dimostrazione: considerare un ricoprimento aperto di $X xx Y$. $AA x in X$ mostrare che c'è un sottoricoprimento finita di $ {x} xx Y$. Utilizzare la proprietà che dice che una mappa (la proiezione immagino) $X xx Y ->X$ è chiusa se sono compatti X e Y, ed infine usare la compattezza di X.

Io per ora ho fatto così:
Sia $uu A_i$ una copertura aperta di $X xx Y$. Considerando la funzione $f: Y -> X xx Y$ definita come $y|->{x} xx {y}$.
f è continua e Y è compatto perciò $f(Y) = {x} xx Y$ è compatto, perciò dato un ricoprimento aperto, ne ammette uno finito.

Ora come uso il resto del suggerimento?
Qualcuno sa darmi una mano?

Grazie

[Piera4]

Di topologia generale non so niente...
Comunque, facendo una ricerca in rete è facile trovare una dimostrazione:
http://planetmath.org/encyclopedia/Proo ... eCase.html

[blunotte]

L'avevo già visto, ma non mi è molto d'aiuto, perché devo dimostrare seguendo il suggerimento e non mi pare che quella dimostrazione utilizzi il fatto che la mappa è chiusa!
Grazie comunque!

[zorn1]

Io ce l'ho sul mio libro di topologia, Tallini, ma non è banalissima anche nel caso finito. In rete esiste pure la dimostrazione generale del teorema ma non so se ti serve...

[ficus2002]

"blunotte":
Sia $uu A_i$ una copertura aperta di $X xx Y$. Considerando la funzione $f: Y -> X xx Y$ definita come $y|->{x} xx {y}$.
f è continua e Y è compatto perciò $f(Y) = {x} xx Y$ è compatto, perciò dato un ricoprimento aperto, ne ammette uno finito.

Sia $cc A$ il ricoprimento dato di $X\times Y$. Per quanto hai provato tu, per ogni $x\in X$ si può estrarre un sottoricoprimento finito $cc A_x\subseteq cc A$ di $\{x}\times Y$.
Sia $x\in X$ fissato. Sia $A_x$ la riunione di tutti gli aperti di $cc A_x$; allora $A_x$ è un aperto di $X\times Y$ contenente ${x}\times Y$. Per il suggerimento, $\pi_X(A_x^c)$ è un chiuso di $X$ che non contiente $x$. Così esiste un aperto $U_x\subseteq X$ contenente $x$ disgiunto da $\pi_X(A_x^c)$. Di conseguenza, $U_x \times Y$ è coperto da $cc A_x$ (infatti, $U_x\subseteq \pi_X(cc A_x^c)^c\subseteq \pi_X(A_x)$).
Poichè $U_x,x\in X$ costituisce un ricoprimente aperto di $X$ compatto, ne possiamo estrarre un sottoricorpimento finito, $U_1, \ldots, U_n$. Allora, $X\times Y$ è coperto da $cc A_1 \cup \cdots \cup cc A_n$ sottoricoprimento finito estratto da $cc A$ (finito perchè riunione finita di finiti).