Teorema di rouchè capelli
ho tale sistema lineare
$\{(2x_1 -3x_2 + x_3 - x_4 = 4),(3x_1 + 2x_2 +x_3 -3x_4=1),(5x_1-5x_2+4x_3-6x_4=6),(2x_1-5x_2+4_3-6x_4=6):}$
e la matrice corrispondente è
$((2,-3,1,-1,4),(3,2,1,-3,1),(5,1,-1,1,3),(2,-5,4,-6,6))$
devo verificare che sia compatibile con il teorema citato.
Adesso, come proseguo? Mi conviene scalinare l'intera matrice, o piuttosto, considerare la matrice incompleta e calcolare il minore di ordine massimo (che in questo caso è la matrice incompleta stessa) e vedere se coincide con il rango e successivamente confrontarlo con quello della matrice completa (che dovrà essere per forza di ordine 4, se tale minore è diverso da zero)?
[mod="cirasa"]Ho aggiunto un paio di virgole per far apparire le formule nel modo giusto.[/mod]
$\{(2x_1 -3x_2 + x_3 - x_4 = 4),(3x_1 + 2x_2 +x_3 -3x_4=1),(5x_1-5x_2+4x_3-6x_4=6),(2x_1-5x_2+4_3-6x_4=6):}$
e la matrice corrispondente è
$((2,-3,1,-1,4),(3,2,1,-3,1),(5,1,-1,1,3),(2,-5,4,-6,6))$
devo verificare che sia compatibile con il teorema citato.
Adesso, come proseguo? Mi conviene scalinare l'intera matrice, o piuttosto, considerare la matrice incompleta e calcolare il minore di ordine massimo (che in questo caso è la matrice incompleta stessa) e vedere se coincide con il rango e successivamente confrontarlo con quello della matrice completa (che dovrà essere per forza di ordine 4, se tale minore è diverso da zero)?
[mod="cirasa"]Ho aggiunto un paio di virgole per far apparire le formule nel modo giusto.[/mod]
Risposte
Probabilmente ci sono stati errori di battitura. Il sistema e la matrice non corrispondono. Ricontrolla.
In ogni caso io proverei a usare il metodo di Gauss rendendo la matrice a scala.
Calcolare un determinante quattro per quattro è lungo e noioso. Si può fare ma personalmente mi sembra troppo faticoso.
In ogni caso io proverei a usare il metodo di Gauss rendendo la matrice a scala.
Calcolare un determinante quattro per quattro è lungo e noioso. Si può fare ma personalmente mi sembra troppo faticoso.
"cirasa":
Probabilmente ci sono stati errori di battitura. Il sistema e la matrice non corrispondono. Ricontrolla.
In ogni caso io proverei a usare il metodo di Gauss rendendo la matrice a scala.
Calcolare un determinante quattro per quattro è lungo e noioso. Si può fare ma personalmente mi sembra troppo faticoso.
Non posso fare operazioni sul determinante per semplificarlo?
Certo che puoi 
ok, grazie mille!
ho un altro quesito che vorrei esporvi...
ho studiato le regole dei determinanti.
Tra queste c'è quella per cui scambiando due righe in due matrici si ha che detB=-detA
Io non sono potuta andare a lezione e sinceramente, gli appunti che mi hanno dato non mi piacciono... QUalcuno saperebbe linkarmi qualche dimostrazione con il metodo di induzione?
ho studiato le regole dei determinanti.
Tra queste c'è quella per cui scambiando due righe in due matrici si ha che detB=-detA
Io non sono potuta andare a lezione e sinceramente, gli appunti che mi hanno dato non mi piacciono... QUalcuno saperebbe linkarmi qualche dimostrazione con il metodo di induzione?
hai provato a trovare la dimostrazione nel post delle dispense?
Provo a spiegartelo velocemente con una matrice $A in M_(4x4)$,
anche se ovviamente la dimostrazione rigorosa va fatta con $n$ generico, non con $n=4$
tu hai la seguente matrice:
$A=((A_1),(A_2),(A_3),(A_4))$, dove $A_i$ è lo i-esimo vettore riga di $4$ elementi
(ad esempio $A_1=(a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3),a_(1,4))$).
Supponiamo di voler scambiare $A_2$ con $A_4$. Si ottiene la matrice $B=((A_1),(A_4),(A_3),(A_2))$
Come sono in relazione tra loro $det(A)$ e $det(B)$?
Per capirlo occorre studiare la seguente matrice, chiamiamola $C$: $C=((A_1),(A_2+A_4),(A_3),(A_2+A_4))$
Sappiamo che $det(C)=0$, perchè ha due righe uguali.
Dalla definizione di determinante, inoltre, sappiamo che
Pertanto,
$0=det(C)=|(A_1),(A_2+A_4),(A_3),(A_2+A_4)|=|(A_1),(A_2+A_4),(A_3),(A_2)|+|(A_1),(A_2+A_4),(A_3),(A_4)|=|(A_1),(A_2),(A_3),(A_2)|+|(A_1),(A_4),(A_3),(A_2)|+ |(A_1),(A_2),(A_3),(A_4)|+|(A_1),(A_4),(A_3),(A_4)|=$
$=0+det(B)+det(A)+0=det(B)+det(A)$
Ovvero, $det(A)+det(B)=0 rArr det(A)=-det(B)$
anche se ovviamente la dimostrazione rigorosa va fatta con $n$ generico, non con $n=4$
tu hai la seguente matrice:
$A=((A_1),(A_2),(A_3),(A_4))$, dove $A_i$ è lo i-esimo vettore riga di $4$ elementi
(ad esempio $A_1=(a_(1,1),a_(1,2),a_(1,3),a_(1,4))$).
Supponiamo di voler scambiare $A_2$ con $A_4$. Si ottiene la matrice $B=((A_1),(A_4),(A_3),(A_2))$
Come sono in relazione tra loro $det(A)$ e $det(B)$?
Per capirlo occorre studiare la seguente matrice, chiamiamola $C$: $C=((A_1),(A_2+A_4),(A_3),(A_2+A_4))$
Sappiamo che $det(C)=0$, perchè ha due righe uguali.
Dalla definizione di determinante, inoltre, sappiamo che
$|(Y+X),(A_2),(A_3),(A_4)|=|(Y),(A_2),(A_3),(A_4)|+|(X),(A_2),(A_3),(A_4)|$
Cioè, se un certo vettor riga è dato dalla somma di due vettori, allora
il determinante della matrice è pari alla somma tra
il determinante della matrice con il primo vettore
e il determinante della matrice con il secondo vettore
Pertanto,
$0=det(C)=|(A_1),(A_2+A_4),(A_3),(A_2+A_4)|=|(A_1),(A_2+A_4),(A_3),(A_2)|+|(A_1),(A_2+A_4),(A_3),(A_4)|=|(A_1),(A_2),(A_3),(A_2)|+|(A_1),(A_4),(A_3),(A_2)|+ |(A_1),(A_2),(A_3),(A_4)|+|(A_1),(A_4),(A_3),(A_4)|=$
$=0+det(B)+det(A)+0=det(B)+det(A)$
Ovvero, $det(A)+det(B)=0 rArr det(A)=-det(B)$
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