Teorema di Rouchè-Capelli?
Se il teorema di Rouchè-Capelli è questo:
Un sistema di equazioni Ax = b ammette soluzioni (è compatibile) se e solo se rg(A) = rg(A|b).
Inoltre:
• Ammette un’unica soluzione se rg(A) = rg(A|b) = numero delle incognite.
• Ammette infinite soluzioni se rg(A) = rg(A|b) < numero delle incognite.
perché facendo esercizi scopro nuovi corollari del tipo: "per Rouchè-Capelli, un sistema omogeneo ammette la sola soluzione nulla se rg(A) è massimo."
qualcuno può enunciarmi il teorema in modo completo?
grazie mille...
Un sistema di equazioni Ax = b ammette soluzioni (è compatibile) se e solo se rg(A) = rg(A|b).
Inoltre:
• Ammette un’unica soluzione se rg(A) = rg(A|b) = numero delle incognite.
• Ammette infinite soluzioni se rg(A) = rg(A|b) < numero delle incognite.
perché facendo esercizi scopro nuovi corollari del tipo: "per Rouchè-Capelli, un sistema omogeneo ammette la sola soluzione nulla se rg(A) è massimo."
qualcuno può enunciarmi il teorema in modo completo?
grazie mille...
Risposte
puoi dare un'occhiata qui:
http://www.dmmm.uniroma1.it/~alessandro ... te%203.pdf
comunque il teorema, completo, è quello che hai detto tu, il resto sono conseguenze, quindi corollari.
un sistema omogeneo ammette comunque la soluzione banale nulla, quindi non può essere impossibile; se è determinato, vuol dire che non ne ammette altre.
nel documento il teorema è alle pagine 5-6, i sistemi omogenei alle pagine 17-19.
http://www.dmmm.uniroma1.it/~alessandro ... te%203.pdf
comunque il teorema, completo, è quello che hai detto tu, il resto sono conseguenze, quindi corollari.
un sistema omogeneo ammette comunque la soluzione banale nulla, quindi non può essere impossibile; se è determinato, vuol dire che non ne ammette altre.
nel documento il teorema è alle pagine 5-6, i sistemi omogenei alle pagine 17-19.
ah ok quindi partendo dal presupposto che un sistema omogeneo ammette sempre la soluzione nulla se il rango è uguale al numero delle incognite l'unica soluzione ammessa è appunto quella nulla?
sì
"Leoddio":
ah ok quindi partendo dal presupposto che un sistema omogeneo ammette sempre la soluzione nulla se il rango è uguale al numero delle incognite l'unica soluzione ammessa è appunto quella nulla?
Se il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite, cioè hai che la matrice dei coefficienti è quadrata, ed essa ha rango massimo, allora il sistema lineare ommogeneo è determinato ed ammetterà un'unica soluzione: l'inversa di A.
Se il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite, cioè hai che la matrice dei coefficienti è quadrata, ed essa ha rango massimo, allora il sistema lineare ommogeneo è determinato ed ammetterà un'unica soluzione: l'inversa di A.
che cosa significa l'inversa della matrice A come soluzione? finora si era parlato di soluzione nulla: è forse improprio, e intendi la stessa cosa ma detto in termini più appropriati?
il fatto è che un vettore formato solo da zeri non me lo immagino inverso di nulla...
"adaBTTLS":
che cosa significa l'inversa della matrice A come soluzione? finora si era parlato di soluzione nulla: è forse improprio, e intendi la stessa cosa ma detto in termini più appropriati?
il fatto è che un vettore formato solo da zeri non me lo immagino inverso di nulla...
$AX=B$, dove $A$ $nxxn$ è la matrice dei coefficienti, $X$ $nxx1$ la colonna delle incognite e $B$ $nxx1$ la colonna dei termini noti.
Se $A in GL_n (R)$, allora
$A^(-1)AX=A^(-1)B hArr X=A^(-1)B$,
$A^(-1)AX=A^(-1)B hArr X=A^(-1)B$,
Nel caso di un sistema lineare omogeneo è un fatto banale dato che $OB=O$, con $O$ la matrice nulla
[nota]con un piccolo abbuso di notazione dato che il primo $O$ è una matrice $nxxn$, mentre il secondo è un vettore colonna $nxx1$.[/nota]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo