Teorema di Rettificabilità

[f.bisecco]

Salve, qualcuno sa dirmi se in rete trovo la dimostrazione del teorema di rettificabilità delle curve $C^1$??
Grazie..

[miuemia]

sia $\phi:[a,b]->RR^n$ di classe $C^1$ allora essa è rettificabile e la sua lunghezza vale: $L(\phi)=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$.

dim:
cominciamo con il provare che risulta:
$l(P)<=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$ per ogni poligonale $P$ inscritta nella curva $\phi$ e determinata da una partizione $a=t_0 infatti:
$l(P)=sum_(i=1)^N |\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|=sum_(i=1)^N |int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \phi^{\prime} (t)dt|<=sum_(i=1)^N int_{t_{i-1}}^{t_{i}} |\phi^{\prime} (t)|dt=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$.
quindi segue che : $L(\phi)=sup (l(P))<=int_a^b |\phi^{\prime} (dt)|$

viceversa essendo $\phi^{\prime}$ uniformente continua in $[a,b]$, fissato $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che:
$s,t\in [a,b]\; , |t-s|<\delta=>|\phi^{\prime} (t)-\phi^{\prime} (s)|<\epsilon$.
consideriamo una partizione $a=t_0 fissato l'intervallo $[t_{i-1} ,t_{i}]$, per ogni $s\in [t_{i-1} ,t_{i}]$ si ha:
$\phi(t_{i})-\phi(t_{i-1})=int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \phi^{\prime} (t)dt=int_{ t_{i-1}}^{t_{i}} (\phi^{\prime} (t)-\phi^{\prime}(s))dt+\phi^{\prime} (s)(t_i -t_{i-1},$
da cui passando ai moduli e considertando l'uniforme continuità si ha:

$|\phi^{\prime} (s)|(t_i -t_{i-1})<=|\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|+|int_{ t_{i-1}}^{t_{i}} (\phi^{\prime} (t)-\phi^{\prime}(s))dt|<=|\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|+\epsilon(t_i -t_{i-1})

si ottiene:

$|\phi^' (s)|<=(|\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|)/(t_i -t_{i-1}) +\epsilon$
e integrando si ha:
$int_{ t_{i-1}}^{t_{i}} |\phi^' (s)|ds<= |\phi(t_i)-\phi(t_{i-1})|+ \epsilon(t_i -t_{i-1}).$
e sommando per $i=1,2,...,N$ si ha:
$int_a^b |\phi^' (s)|ds<=l(P)+\epsilon(b-a)<=L(\phi)+\epsilon(b-a)$...
questo vale per $\epsilon$ arbitrario da cui la tesi.

[elgiovo]

A me piace anche pensare a questa argomentazione,
non formale: sia la curva $phi$ (classe $C^1$)
rappresentata, ad esempio, dalle equazioni parametriche

${(x=x(t)),(y=y(t)):}$



La lunghezza di un tratto infinitesimo di curva, rappresentato in
figura, è $dL=sqrt(dx^2+dy^2)$. Ma $dx=dx(t)=x'(t)dt$, e
$dy=dy(t)=y'(t)dt$, perciò la lunghezza dell'arco di curva
ottenuta facendo variare $t$ tra $a$ e $b$ è
$L_(ab)=int_a^b dL=int_a^b sqrt([x'(t)dt]^2+[y'(t)dt]^2)=int_a^bsqrt([x'(t)]^2+[y'(t)]^2)dt$.
Il discorso è analogo nel caso in cui $phi$ sia rappresentata
da equazioni polari o cartesiane, in ogni caso $L_(ab)(phi)=int_a^b|phi'(t)|dt$.
Cosa ne pensate?

[amel3]

Ottime risposte tutte e due: la prima è la dimostrazione formale, la seconda mostra come probabilmente si è giunti storicamente ad enunciare il teorema.
Forma e sostanza, insomma il massimo che si possa desiderare...

[DDanielSan]

Potete spiegarmi quest'uguaglianza? E il passaggio successivo (soprattutto questo)?

ϕ(ti)−ϕ(ti−1)=∫ϕ′(t)dt=∫(ϕ′(t)−ϕ′(s))dt+ϕ′(s)(ti−ti−1)

Grazie 1000