Teorema di Lagrange per esistenza di basi ortogonali.
Ho bisogno di qualche chiarimento sulla dimostrazione del teorema di Lagrange inerente alla esistenza di basi $phi$ ortogonali.
Prima di enunciare e riscrivere la dimostrazione, vi riporto due definizioni che mi serviranno.
Sia $V$ spazio vettoriale su $mathbb{K}$ tale che $dim(V)=n<+infty$, con $(e_1,e_2,...,e_n)$ una sua base.
$phi :V times V to mathbb{K}$ forma bilineare simmetrica.
1) Base $k$ ortogonale.
$(e_1,e_2,...,e_n)$ $k$ ortogonale se $phi(e_i,e_j)$ per ogni $i
Per verificare che $(e_1,e_2,...,e_n)$ è $k$ ortogonale occorre verificare$0=phi(e_i,e_j)=phi(e_j,e_i)$,
cioè ritorniamo al caso precedente.Prima di enunciare e riscrivere la dimostrazione, vi riporto due definizioni che mi serviranno.
Sia $V$ spazio vettoriale su $mathbb{K}$ tale che $dim(V)=n<+infty$, con $(e_1,e_2,...,e_n)$ una sua base.
$phi :V times V to mathbb{K}$ forma bilineare simmetrica.
1) Base $k$ ortogonale.
$(e_1,e_2,...,e_n)$ $k$ ortogonale se $phi(e_i,e_j)$ per ogni $i
Per verificare che $(e_1,e_2,...,e_n)$ è $k$ ortogonale occorre verificare
$phi(e_i,e_j)=0$ per ogni $ii$.
La richiesta $j>i$ segue dal fatto che se fosse $j2) Base $k$ ortongale correttamente ordinata.
$(e_1,e_2,...,e_n)$ $k$ ortongale correttamente ordinata se
$phi(e_k,e_k) ne 0$,
oppure,
$phi(e_k,e_j)ne 0$ per ogni $j>k$ in quest'ultimo caso risulta $k+1$ ortogonale.
Teorema:
Ogni forma bilineare simmetrica $phi$ su di uno spazio vettoriale di dimensione finita ammette basi $phi$ ortogonali.
Dimostrazione: La dimostrazione fornisce un algoritmo per costruire una base $k$ ortogonale correttamente ordinata e poi un'altra $(k+1)$ ortogonale.
Si divide in quattro casi.
Supponiamo di avere una base $(e_1,e_2,...,e_n)$ $k$ ortogonale.
1) Se $phi(e_k,e_j)=0$ per $j>k$ allora si ha una $k+1$ ortogonale. Quindi andiamo al punto 4)
Se $phi(e_k, e_j)ne 0$ per $j>k$ allora esiste un indice $llen$ tale che $phi(e_k,e_j)ne0$.
Poiché la base è $k$ ortogonale, si ha $l ge k$. Quindi se $l=k$ andiamo al punto 3) altrimenti punto 2)
2) Quindi, abbiamo $phi(e_k,e_k)=0$ e $phi(e_k,e_l) ne 0,$ con $l>k$.
Alla dalla bilinearità, si ha $0 ne 4phi(e_k,e_l)=phi(e_k+e_l,e_k+e_l)-phi(e_k-e_l,e_k-e_l)$, allora, esiste $a in {-1,1}$ per cui $phi(e_k+ae_l,e_k+ae_l)ne 0$ poiché i due addendi non possono essere entrambi nulli.
Ponendo $v_k=e_k+ae_l$ e lasciando invariati i rimanenti. Andiamo al punto 3)
3) Quindi, abbiamo una base $k$ ortogonale correttamente ordinata, che non è $k+1$ ortogonale.
Abbiamo per il punto 2) $phi(v_k,v_k)ne0$.
Posto $v_i=e_i$ per ogni $i
$v_i=e_i-sum_(p=1)^(i-1)(phi(e_i,v_p))/(phi(v_p,v_p))v_p$
Da questa posizione segue che è $k+1$ ortogonale. Andiamo al punto 4)
4) Se $k+1< n$ allora si aumenta di una unità e si torna al punto 1). Invece se $k+1=n$ allora abbiamo terminato.
Questo conclude la dimostrazione poiché esiste sempre una base $1$ ortogonale.
Diciamo che la dimostrazione è un po' articolata, ma non è difficile.
Quello che non mi convince molto sono due cose.
Perché si dice questo
Questo conclude la dimostrazione poiché esiste sempre una base $1$ ortogonale.
Perché?
Faccio un esempio. Considero la forma bilineare simmetrica di matrice
$ G=| ( 0 , 2 , -2 , 0 ),( 2 , 0 , 1 , -3 ),( -2 , 1 , 0 , -1 ),( 0 , -3 , -1 , 0 ) | $
rispetto alla base canonica.Ora, devo applicare
$phi(e_i,e_j)=0$ per ogni $ii$.
ma se $k=1$ allora questa diventa $phi(e_i,e_j)=0$ per ogni $i<1$ e per ogni $j>i$.
cioè $i=0$ ??? Perché, dove è l'intoppo? Lo scelgo io il vettore a piacere?
Saluti.
Risposte
La dimostrazione mi pare inutilmente complicata. Infatti, è sufficiente lavorare per induzione sulla dimensione dello spazio vettoriale. Insomma, per uno spazio di dimensione \(1\) è banale (un insieme di un solo vettore non nullo è ortogonale a se stesso). Per le dimensioni superiori di basta prendere una sua base \(\{e_1,\dotsc, e_n\}\), applicare l'ipotesi induttiva su \(\{e_1,\dotsc, e_{n-1}\}\) trovando \(\{\tilde{e}_1,\dotsc, \tilde{e}_{n-1}\}\) e infine modificare \(e_n\) usando la formula \[\tilde{e}_n = e_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\phi(\tilde{e}_i, e_n)}{\phi(\tilde{e}_i, \tilde{e}_i)} \tilde{e}_i\,.\]
Tornando alla tua dimostrazione, per dimostrare che "Questo conclude la dimostrazione poiché esiste sempre una base \(1\)-ortogonale" ti basta osservare che ogni base è \(1\)-ortogonale. Detto questo, la definizione data è decisamente controintuitiva, perché una base \(k\)-ortogonale ha \((k-1)\) vettori ortogonali a tutti gli altri (invece di averne \(k\)). Nota che hai gli indici che partono da \(1\) e che \(i < k\).
Hai detto due cose, qual'è l'altra?
Tornando alla tua dimostrazione, per dimostrare che "Questo conclude la dimostrazione poiché esiste sempre una base \(1\)-ortogonale" ti basta osservare che ogni base è \(1\)-ortogonale. Detto questo, la definizione data è decisamente controintuitiva, perché una base \(k\)-ortogonale ha \((k-1)\) vettori ortogonali a tutti gli altri (invece di averne \(k\)). Nota che hai gli indici che partono da \(1\) e che \(i < k\).
Hai detto due cose, qual'è l'altra?
vict85 bravo, hai colto a pieno i miei dubbi.
Dove posso trovare una dimostrazione del teorema di Lagrange simile a quella che hai citato.
Invece, la seconda domanda, è capire la definizione di base k-ortogonale.
Sai dove posso trovare una definizione un po' più lineare, perché quella che ho postato non l'ho capita tanto.
Dove posso trovare una dimostrazione del teorema di Lagrange simile a quella che hai citato.
Invece, la seconda domanda, è capire la definizione di base k-ortogonale.
Sai dove posso trovare una definizione un po' più lineare, perché quella che ho postato non l'ho capita tanto.
Cerca algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Sulla definizione di \(k\)-ortogonale non saprei, sono fuori dall'università da un po' e non so quanto sia una definizione condivisa.
Ho capito grazie.
Per la definizione, ho provato a cercare in rete ma non ho trovato nulla.
Se qualcuno legge questo topic, se vuole la può riportare la definizione oppure il link del pdf, pagina...
Saluti
Per la definizione, ho provato a cercare in rete ma non ho trovato nulla.
Se qualcuno legge questo topic, se vuole la può riportare la definizione oppure il link del pdf, pagina...
Saluti
Cosa studi Yuyu? Ancora più importante: qual è il libro di testo consigliato? Ce l'hai?
Ciao dissonance, studio matematica, è ho studiato dalla dispense del prof. inoltre, libro consigliato è Sernesi, Geometria uno.
Infine, l'esame è andato bene.
Grazie ancora.
Saluti
Infine, l'esame è andato bene.
Grazie ancora.
Saluti
Bene, ad maiora. Ciao.
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