Teorema di grassmann

[lepre561]

Salve,
sono arrivato allla dimostrazione in cui bisogna dimostrare che il sistema B={e1,...,eh,uh+1,...,us,wh+1,...,wt}è una base di di U+W.
per far ciò bisogna dimostrare è linearmente indipendente e sia che B genera U+W.
Ho capito come dimostrare che la base è un sistema di generatori ma non so proprio da dove cominciare a dimostrare che sono linermente indipendenti

[cooper1]

"lepre561":non so proprio da dove cominciare

comincia a scrivere la combinazione lineare degli elementi ed eguagliarla a zero. se poi porti a secondo membro i vettori di W vedi che hai il primo membro che appartiene ad U ed il secondo che appartiene a W. quindi in particolare il secondo membro appartiene all'intersezione. bene scrivilo come comb. lineare degli elementi della base di questo sottospazio e vedi cosa succede.

[Vicia]

Ciao, ci sono due modi per vedere la lineare dipendenza o indipendenza. O ti costruisci la matrice associata al tuo spazio, dove i vettori colonna saranno i tuoi vettori, e vedi se la matrice ha rango massimo. Nel caso in cui abbia rango massimo allora i vettori sono linearmente indipendenti. Nel caso in cui non hai rango massimo allora significa che uno dei due vettori è linearmente dipendente dall'altro.
Il secondo metodo, più laborioso, consiste nell'effettuare la combinazione lineare dei tuoi vettori e porli uguale al vettore nullo, verificando così se esistono per parametri per i quali i due vettori possono esprimersi uno in funzione dell'altro o meno. Ad esempio, hai questi due vettori $v_1=(1,2)$ e $v_2=(2,4)$ già ad occhio vedi che il secondo vettore è dipente dall'altro poichè è pari al doppio infatti risulta: $v_2=2v_1$.
Levando la questione di constatare ciò ad occhio in casi magari più complessi da osservare, basta effettuare la combinazione lineare $\alphav_1 + \betav_2=(0,0)$ e ti risolvi il sistema trovando i valori per i quali i due vettori possono essere espressi in funzione di uno o dell'altro.
(Vettore nullo (0,0) perchè siamo in $RR^2$ ovviamente)

[Vicia]

"cooper":[quote="lepre561"]non so proprio da dove cominciare

comincia a scrivere la combinazione lineare degli elementi ed eguagliarla a zero. se poi porti a secondo membro i vettori di W vedi che hai il primo membro che appartiene ad U ed il secondo che appartiene a W. quindi in particolare il secondo membro appartiene all'intersezione. bene scrivilo come comb. lineare degli elementi della base di questo sottospazio e vedi cosa succede.[/quote]

Non avevo visto che avevi risposto già prima

[cooper1]

"Vicia":Non avevo visto che avevi risposto già prima

ma figurati!
piuttosto:

"Vicia":ti costruisci la matrice associata al tuo spazio, dove i vettori colonna saranno i tuoi vettori, e vedi se la matrice ha rango massimo. Nel caso in cui abbia rango massimo allora i vettori sono linearmente indipendenti. Nel caso in cui non hai rango massimo allora significa che uno dei due vettori è linearmente dipendente dall'altro.

questo potrei capirlo in un esercizio dove ho dei vettori ma come faccio quando i vettori non li conosco come con questo teorema?

[Vicia]

Ah pensavo parlasse in generale. Piccolo fraintendimento