Teorema di estensione delle isometrie (un passaggio)
Non riesco a giustificare un passaggio di una dimostrazione.
Queste sono le mie definizioni:
Sia [tex](V,g)[/tex] spazio normato ([tex]g[/tex] forma bilineare simmetrica non degenere), un isomorfismo [tex]\phi[/tex] è isometria se rispetta la forma
[tex]\forall v, w \in V, g(\phi(v),\phi(w))=g(v,w)[/tex], ovvero se [tex]\forall v \in V, g(\phi(v),\phi(v))=g(v,v)[/tex]
Devo dimostrare questo teorema (estensione delle isometrie):
Sia [tex](V,g)[/tex] spazio normato, [tex]W[/tex] sottospazio tale che la restrizione di [tex]g[/tex] è non degenere, [tex]\phi: W \rightarrow V[/tex] un' isometria. Allora [tex]\phi[/tex] si estende come isometria a tutto [tex]W[/tex].
Do per buono il seguene lemma:
Siano [tex](V,g)[/tex] spazio normato, [tex]v,w \in V[/tex]tali che [tex]g(v,v)=g(w,w)\neq0[/tex]. Allora esiste un'isometria [tex]\phi[/tex] che porta [tex]v[/tex] in [tex]w[/tex].
Ora comincio la dimostrazione del teorema:
Poiché [tex]W[/tex] è normato, esiste una base ortogonale (con vettori non isotropi) e si ha [tex]V=\left\langle w_1 \right\rangle \oplus \left\langle w_2 \right\rangle \oplus ... \oplus \left\langle w_k \right\rangle \oplus W^\perp[/tex] (somma diretta ortogonale). Inoltre, poiché [tex]\phi[/tex] è isometria, [tex]g_{|\phi(W)}[/tex] è non degenere e [tex](\phi(w_1),...\phi(w_k))[/tex] è una base ortogonale di [tex]\phi(W)[/tex] (con vettori non isotropi). Si ha dunque [tex]V=\left\langle \phi(w_1) \right\rangle \oplus \left\langle \phi(w_2) \right\rangle \oplus ... \oplus \left\langle \phi(w_k) \right\rangle \oplus \phi(W)^\perp[/tex] (somma diretta ortogonale).
Ora, la mia idea per estendere [tex]\phi[/tex] è quella di usare il lemma [tex]k[/tex] volte, aggiustando di volta in volta un vettore e lasciando inalterati quelli che sono già a posto. Il primo passo non presenta problemi: poiché [tex]\phi[/tex] è isometria, [tex]g(w_1,w_1)=g(\phi(w_1),\phi(w_1))[/tex], e poiché [tex]w_1[/tex] non è isotropo (per costruzione) posso applicare il lemma e trovare un'isometria [tex]\psi_1[/tex] tale che [tex]\psi_1(w_1)=\phi(w_1)[/tex]. E si ha collateralmente che [tex]w_2[/tex] viene mandato in [tex]\psi_1(w_2)[/tex]. Risulta però che [tex]g(\psi_1(w_2),\psi_1(w_2))=g(\phi(w_2),\phi(w_2))\neq 0[/tex] (l'ultima condizione perché [tex]w_2[/tex] non è isotropo) e quindi potrei costruire un'isometria [tex]\chi_2[/tex] tale che [tex]\chi_2(\psi_1(w_2))=\phi(w_2)[/tex]. Il problema è che ora [tex]\chi_2(\psi_1(w_1))[/tex] può essere diverso da [tex]\phi(w_2)[/tex], quindi dovrei trovare il modo di correggere [tex]\chi_2[/tex], magari imponendo che su [tex]\left\langle \phi(w_1) \right\rangle[/tex] si comporti come l'identità; di sicuro le scomposizioni di [tex]V[/tex] in somme dirette ortogonali mi saranno d'aiuto, ma chi mi garantisce che se modifico un'isometria su un sottospazio ortogonale quello che ottengo è sempre un'isometria?
Grazie per l'attenzione
Queste sono le mie definizioni:
Sia [tex](V,g)[/tex] spazio normato ([tex]g[/tex] forma bilineare simmetrica non degenere), un isomorfismo [tex]\phi[/tex] è isometria se rispetta la forma
[tex]\forall v, w \in V, g(\phi(v),\phi(w))=g(v,w)[/tex], ovvero se [tex]\forall v \in V, g(\phi(v),\phi(v))=g(v,v)[/tex]
Devo dimostrare questo teorema (estensione delle isometrie):
Sia [tex](V,g)[/tex] spazio normato, [tex]W[/tex] sottospazio tale che la restrizione di [tex]g[/tex] è non degenere, [tex]\phi: W \rightarrow V[/tex] un' isometria. Allora [tex]\phi[/tex] si estende come isometria a tutto [tex]W[/tex].
Do per buono il seguene lemma:
Siano [tex](V,g)[/tex] spazio normato, [tex]v,w \in V[/tex]tali che [tex]g(v,v)=g(w,w)\neq0[/tex]. Allora esiste un'isometria [tex]\phi[/tex] che porta [tex]v[/tex] in [tex]w[/tex].
Ora comincio la dimostrazione del teorema:
Poiché [tex]W[/tex] è normato, esiste una base ortogonale (con vettori non isotropi) e si ha [tex]V=\left\langle w_1 \right\rangle \oplus \left\langle w_2 \right\rangle \oplus ... \oplus \left\langle w_k \right\rangle \oplus W^\perp[/tex] (somma diretta ortogonale). Inoltre, poiché [tex]\phi[/tex] è isometria, [tex]g_{|\phi(W)}[/tex] è non degenere e [tex](\phi(w_1),...\phi(w_k))[/tex] è una base ortogonale di [tex]\phi(W)[/tex] (con vettori non isotropi). Si ha dunque [tex]V=\left\langle \phi(w_1) \right\rangle \oplus \left\langle \phi(w_2) \right\rangle \oplus ... \oplus \left\langle \phi(w_k) \right\rangle \oplus \phi(W)^\perp[/tex] (somma diretta ortogonale).
Ora, la mia idea per estendere [tex]\phi[/tex] è quella di usare il lemma [tex]k[/tex] volte, aggiustando di volta in volta un vettore e lasciando inalterati quelli che sono già a posto. Il primo passo non presenta problemi: poiché [tex]\phi[/tex] è isometria, [tex]g(w_1,w_1)=g(\phi(w_1),\phi(w_1))[/tex], e poiché [tex]w_1[/tex] non è isotropo (per costruzione) posso applicare il lemma e trovare un'isometria [tex]\psi_1[/tex] tale che [tex]\psi_1(w_1)=\phi(w_1)[/tex]. E si ha collateralmente che [tex]w_2[/tex] viene mandato in [tex]\psi_1(w_2)[/tex]. Risulta però che [tex]g(\psi_1(w_2),\psi_1(w_2))=g(\phi(w_2),\phi(w_2))\neq 0[/tex] (l'ultima condizione perché [tex]w_2[/tex] non è isotropo) e quindi potrei costruire un'isometria [tex]\chi_2[/tex] tale che [tex]\chi_2(\psi_1(w_2))=\phi(w_2)[/tex]. Il problema è che ora [tex]\chi_2(\psi_1(w_1))[/tex] può essere diverso da [tex]\phi(w_2)[/tex], quindi dovrei trovare il modo di correggere [tex]\chi_2[/tex], magari imponendo che su [tex]\left\langle \phi(w_1) \right\rangle[/tex] si comporti come l'identità; di sicuro le scomposizioni di [tex]V[/tex] in somme dirette ortogonali mi saranno d'aiuto, ma chi mi garantisce che se modifico un'isometria su un sottospazio ortogonale quello che ottengo è sempre un'isometria?
Grazie per l'attenzione
Risposte
Ho trovato la soluzione, bastava definire [tex]\chi_2[/tex] solo su [tex]\left\langle \phi(w_1)\right\rangle^{\perp}[/tex]...
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