Teorema di Cramer (inverso)
Salve a tutti.
Vi sottopongo questo dubbio, citando un osservazione del libro:
Il mio dubbio è il seguente. Nel caso in cui ho un sistema (lineare) di n equazioni ed n incognite, se il determinante di A è uguale a 0, il sistema di sicuro non ammette un'unica soluzione, allora ne ammette infinite o nessuna ? Secondo l'osservazione sopra dovrebbero essere infinite le soluzioni, però io non capisco come faccia il libro a dire per certo che r(A|B) == r(A) basandosi semplicemente sul fatto che det(A) == 0 e ovviamente che il sistema è n x n.
Grazie anticipatamente
Vi sottopongo questo dubbio, citando un osservazione del libro:
Se AX = B è un sistema lineare n x n che ha un'unica soluzione, allora det(A) != 0. Infatti, se fosse det(A) == 0, sarebbe r(A|B) == r(A) < n e quindi il sistema avrebbe almeno una incognita libera, per il Teorema di Rouché-Capelli, e quindi avrebbe infinite soluzioni.
Il mio dubbio è il seguente. Nel caso in cui ho un sistema (lineare) di n equazioni ed n incognite, se il determinante di A è uguale a 0, il sistema di sicuro non ammette un'unica soluzione, allora ne ammette infinite o nessuna ? Secondo l'osservazione sopra dovrebbero essere infinite le soluzioni, però io non capisco come faccia il libro a dire per certo che r(A|B) == r(A) basandosi semplicemente sul fatto che det(A) == 0 e ovviamente che il sistema è n x n.
Grazie anticipatamente
Risposte
Io l'ho studiato da poco questo teorema, ed è molto delicato, tento di darti il mio approccio, però aspetta una revisione degli admin.
Se un sistema è nxn ovvero un sistema $n$ eq in $n$ incognite, vuol dire che è quadrato.
Detta $n$ il rang max della matrice associata , essa si ha se e solo se il determinante della matrice è diverso da 0.
ricordando anche che il rango è il max numero di righe o colonne L.I presenti una matrice.
Se fosse il det uguale a 0, allora si abbassa l'ordine del rang, e sicuramente NON sarà più n, ma un altro numero naturale minore di $n$.
Il fatto delle soluzioni, dipende molto dalla compatibilità che discende dal teorema di rouche capelli.
Se la matrice A e A' sono compatibili, si ha almeno una soluzione.
Se non lo sono, due sono le opzioni: infinita e nessuna. [questo credo si veda con il humero di variabili libere]
Se un sistema è nxn ovvero un sistema $n$ eq in $n$ incognite, vuol dire che è quadrato.
Detta $n$ il rang max della matrice associata , essa si ha se e solo se il determinante della matrice è diverso da 0.
ricordando anche che il rango è il max numero di righe o colonne L.I presenti una matrice.
Se fosse il det uguale a 0, allora si abbassa l'ordine del rang, e sicuramente NON sarà più n, ma un altro numero naturale minore di $n$.
Il fatto delle soluzioni, dipende molto dalla compatibilità che discende dal teorema di rouche capelli.
Se la matrice A e A' sono compatibili, si ha almeno una soluzione.
Se non lo sono, due sono le opzioni: infinita e nessuna. [questo credo si veda con il humero di variabili libere]
"clever":
Detta $n$ il rang max della matrice associata , essa si ha se e solo se il determinante della matrice è diverso da 0.
ricordando anche che il rango è il max numero di righe o colonne L.I presenti una matrice.
Se fosse il det uguale a 0, allora si abbassa l'ordine del rang, e sicuramente NON sarà più n, ma un altro numero naturale minore di $n$.
Non è chiara come spiegazione...
Prima di tutto il "rango massimo" non è chiaro cosa sia. Il rango di una matrice $A$ può essere massimo; se massimo non è, cioè se il rango è $< n$, significa che non servono tutti i vettori riga della matrice per generare lo spazio delle righe di $A$. Detto altrimenti: se il rango non è massimo il vettori riga non sono lineramente indipendenti.
"abbassare l'ordine del rango", secondo me, è una locuzione priva di significato.
A dire il vero, potrebbe benissimo non averne. E ciò avviene quando la colonna dei termini noti non appartiene allo spazio generato dalle colonne della matrice incompleta.
Quando il sistema \(Ax=b\) è quadrato e \(\det(A)\neq 0\), la soluzione esiste sempre e comunque, poiché (tra l'altro) le colonne di \(A\) formano una base di \(\mathbb{K}^n\). Inoltre è unica per l'unicità dell'inversa, ma questo è un altro discorso.
Se invece \(A\) ha determinante nullo, le sue colonne non formano una base e potrebbe darsi che \(b\) sia indipendente da esse. Ad esempio, il sistema
$ ( ( 1 , 1 , 1),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$
è quadrato, ha matrice incompleta singolare, MA è incompatibile.
Quando il sistema \(Ax=b\) è quadrato e \(\det(A)\neq 0\), la soluzione esiste sempre e comunque, poiché (tra l'altro) le colonne di \(A\) formano una base di \(\mathbb{K}^n\). Inoltre è unica per l'unicità dell'inversa, ma questo è un altro discorso.
Se invece \(A\) ha determinante nullo, le sue colonne non formano una base e potrebbe darsi che \(b\) sia indipendente da esse. Ad esempio, il sistema
$ ( ( 1 , 1 , 1),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$
è quadrato, ha matrice incompleta singolare, MA è incompatibile.
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