Teorema di Cramer
Ciao a tutti ho problemi con la dimostrazione di questo problema.
Allora bisogna dimostrare che se un sistema è non singolare ammette una soluzione.
posto $\epsilon_j= detF_j/detA$ e poichè il $detA!=0$ la matrice $A$ risulta invertibile.
Pertanto $\epsilon=In*\epsilon=A^-1*A*\epsilon=A^-1*B$
Ora sul mio libro continua con una serie di sommatorie che francamente faccio fatica a capire qualcuno che mi può spiegare come continuare??
GRAZIE
Allora bisogna dimostrare che se un sistema è non singolare ammette una soluzione.
posto $\epsilon_j= detF_j/detA$ e poichè il $detA!=0$ la matrice $A$ risulta invertibile.
Pertanto $\epsilon=In*\epsilon=A^-1*A*\epsilon=A^-1*B$
Ora sul mio libro continua con una serie di sommatorie che francamente faccio fatica a capire qualcuno che mi può spiegare come continuare??
GRAZIE
Risposte
Per continuare devi avere bene in mente il prodotto riga per colonna, l'inversa di una matrice e il teorema di Laplace.
Sappiamo che il rango del sistema è pari al numero di equazioni e di incognite, che potremo $n$. Quindi $rg(A)=n$ e $det(A)!=0$.
L'inversa di una matrice si può dimostrare essere la trasposta della matrice ottenuta sostituendo ad ogni elemento $a_(ij)$ il suo complemento algebrico $A_(ij)$ fratto $det(A)$, cioè $A^-1$ ha questa forma
$\frac{1}{det(A)}((A_(11),...,A_(n1)),(...,...,...),(A_(1n),...,A_(n n)))$
Non ci resta che fare il prodotto di $A^-1B$ dove che sarà del tipo $(n×n)(n×1)->n×1$
Prendiamo lo j-simo prodotto, che ha questa forma
$1/det(A)(A_(1j)b_1+...+A_(nj)b_n)$
Ora il denominatore deve coincidere con il determinante di $F_j$, che suppongo essere la matrice ottenuta sostituendo alla j-sima colonna di $A$ la colonna $B$ dei termini noti. Questo lo verifichi con Laplace applicato alla j-sima colonna di $F_j$
Sappiamo che il rango del sistema è pari al numero di equazioni e di incognite, che potremo $n$. Quindi $rg(A)=n$ e $det(A)!=0$.
L'inversa di una matrice si può dimostrare essere la trasposta della matrice ottenuta sostituendo ad ogni elemento $a_(ij)$ il suo complemento algebrico $A_(ij)$ fratto $det(A)$, cioè $A^-1$ ha questa forma
$\frac{1}{det(A)}((A_(11),...,A_(n1)),(...,...,...),(A_(1n),...,A_(n n)))$
Non ci resta che fare il prodotto di $A^-1B$ dove che sarà del tipo $(n×n)(n×1)->n×1$
Prendiamo lo j-simo prodotto, che ha questa forma
$1/det(A)(A_(1j)b_1+...+A_(nj)b_n)$
Ora il denominatore deve coincidere con il determinante di $F_j$, che suppongo essere la matrice ottenuta sostituendo alla j-sima colonna di $A$ la colonna $B$ dei termini noti. Questo lo verifichi con Laplace applicato alla j-sima colonna di $F_j$
"Cantor99":
Per continuare devi avere bene in mente il prodotto riga per colonna, l'inversa di una matrice e il teorema di Laplace.
Sappiamo che il rango del sistema è pari al numero di equazioni e di incognite, che potremo $n$. Quindi $rg(A)=n$ e $det(A)!=0$.
L'inversa di una matrice si può dimostrare essere la trasposta della matrice ottenuta sostituendo ad ogni elemento $a_(ij)$ il suo complemento algebrico $A_(ij)$ fratto $det(A)$, cioè $A^-1$ ha questa forma
$\frac{1}{det(A)}((A_(11),...,A_(n1)),(...,...,...),(A_(1n),...,A_(n n)))$
Non ci resta che fare il prodotto di $A^-1B$ dove che sarà del tipo $(n×n)(n×1)->n×1$
Prendiamo lo j-simo prodotto, che ha questa forma
$1/det(A)(A_(1j)b_1+...+A_(nj)b_n)$
Ora il denominatore deve coincidere con il determinante di $F_j$, che suppongo essere la matrice ottenuta sostituendo alla j-sima colonna di $A$ la colonna $B$ dei termini noti. Questo lo verifichi con Laplace applicato alla j-sima colonna di $F_j$
Mi è venuto un dubbio ma la matrice $B$ da dove esce???
È la matrice dei termini noti del sistema $B=((b_1),(...),(b_n))$
"Cantor99":
Per continuare devi avere bene in mente il prodotto riga per colonna, l'inversa di una matrice e il teorema di Laplace.
Sappiamo che il rango del sistema è pari al numero di equazioni e di incognite, che potremo $n$. Quindi $rg(A)=n$ e $det(A)!=0$.
L'inversa di una matrice si può dimostrare essere la trasposta della matrice ottenuta sostituendo ad ogni elemento $a_(ij)$ il suo complemento algebrico $A_(ij)$ fratto $det(A)$, cioè $A^-1$ ha questa forma
$\frac{1}{det(A)}((A_(11),...,A_(n1)),(...,...,...),(A_(1n),...,A_(n n)))$
Non ci resta che fare il prodotto di $A^-1B$ dove che sarà del tipo $(n×n)(n×1)->n×1$
Prendiamo lo j-simo prodotto, che ha questa forma
$1/det(A)(A_(1j)b_1+...+A_(nj)b_n)$
Ora il denominatore deve coincidere con il determinante di $F_j$, che suppongo essere la matrice ottenuta sostituendo alla j-sima colonna di $A$ la colonna $B$ dei termini noti. Questo lo verifichi con Laplace applicato alla j-sima colonna di $F_j$
vorrei sapere ma questa $1/det(A)(A_(1j)b_1+...+A_(nj)b_n)$ è solo $B$ oppure è $A^-1*B$
È $A^-1B$, che puoi vedere come un rapporto di determinanti
"Cantor99":
È $A^-1B$, che puoi vedere come un rapporto di determinanti
Ma per concludere la dimostrazione non basta porre
$1/det(A)(A_(1j)b_1+...+A_(nj)b_n)= \epsilon_j=detF_j/detA$???
Sì certo, cioè devi far vedere che
$A_(1j)b_1+...+A_(nj)b_n=det(F_j)$.
Ti ho detto già come vederlo (nel primo messaggio)
$A_(1j)b_1+...+A_(nj)b_n=det(F_j)$.
Ti ho detto già come vederlo (nel primo messaggio)
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