Teorema di completamento ad una base

[giuseppeferrara96]

Ciao a tutti, mi potete aiutare a capire questa dimostrazione?



In particolare non ho capito come si arriva al fatto che B contiene L, cioè quando dice “Essendo... a circa metà immagine.

Inoltre non ho capito se L’insieme S \ B è L ?

[Cantor99]

Ti propongo il ragionamento del mio libro che sembra molto simile.

Sia $L={u_1,...,u_t}$ un sistema di $t$ vettori di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita $n$.
Se $t=0$, $L$ coincide con l'insieme vuoto ed è ovviamente contenuto in ogni base di $V$.
Sia $t!=0$, allora si hanno due possibilità: $[L]=V$ o $[L]!=V$. Nel primo caso $L$ è una base di $V$ e vale l'asserto.
Nel secondo, sia $v_1in(V-[L])$. Sì consideri $L_1=Luu{v}$: si hanno due casi: $L_1$ è linearmente indipendente o dipendente. Nel primo caso $LsubL_1$ e $L_1$ è una base di V.
Nel secondo caso troverai un altro vettore $v_2$ similmente a prima con cui poter costruire $L_2$ e così via. Questo processo avrà fine perché il numero massimo di vettori linearmente indipendenti è la dimensione di $V$, cioè $n$. Cioè se $t>=n+1$, $L$ non può essere più una base di $V$!

Spero di non aver scritto castronerie!