Teorema di completamento ad una base!
Ciao! Chi può spiegarmi in maniera semplice e non troppo "matematichese" il teorema di completamento ad una base? Grazie!
Risposte
Ciao,
il teorema del completamento ad una base non è difficile, quindi sono sicuro che con un po' di sforzo se lo rileggi sul tuo libro lo capirai senza problemi.
L'idea comunque è questa:
Hai uno spazio vettoriale $V^n$ (di dimensione $nin NN$, dunque ogni sua base è costituita da $n$ elementi).
Supponiamo che tu abbia $k$ ($k in NN, k < n$) vettori $vec v_1,...,vec v_k$ linearmenti indipendenti appartenenti a $V^n$, allora questi forniscono una base per il sottospazio $W^ksubV^n=L((vec v_1,...,vec v_k))$.
Sicuramente se prendi un vettore $vec a in (V^n-W^k)$ non è combinazione lineare dei vettori $vec v_1,...,vec v_k$ (perchè non appartiene al sottospazio da loro generato!), quindi chiamato $vec a$ come $vec v_(k+1)$ se lo aggiungiamo alla $k-text{pla}$ di partenza $(vec v_1,...,vec v_k)$ otteniamo $(vec v_1,...,vec v_k,vec v_(k+1))$, una base per $W^(k+1)$.
Se si ripete questo procedimento ancora $n-(k+1)$ volte si ottiene una base per $V^n$.
il teorema del completamento ad una base non è difficile, quindi sono sicuro che con un po' di sforzo se lo rileggi sul tuo libro lo capirai senza problemi.
L'idea comunque è questa:
Hai uno spazio vettoriale $V^n$ (di dimensione $nin NN$, dunque ogni sua base è costituita da $n$ elementi).
Supponiamo che tu abbia $k$ ($k in NN, k < n$) vettori $vec v_1,...,vec v_k$ linearmenti indipendenti appartenenti a $V^n$, allora questi forniscono una base per il sottospazio $W^ksubV^n=L((vec v_1,...,vec v_k))$.
Sicuramente se prendi un vettore $vec a in (V^n-W^k)$ non è combinazione lineare dei vettori $vec v_1,...,vec v_k$ (perchè non appartiene al sottospazio da loro generato!), quindi chiamato $vec a$ come $vec v_(k+1)$ se lo aggiungiamo alla $k-text{pla}$ di partenza $(vec v_1,...,vec v_k)$ otteniamo $(vec v_1,...,vec v_k,vec v_(k+1))$, una base per $W^(k+1)$.
Se si ripete questo procedimento ancora $n-(k+1)$ volte si ottiene una base per $V^n$.
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