Teorema di Chasles: isometrie dirette, inverse, orientazione
Ciao a tutti.
Studiado sul Sernesi 1 la dimostrazione del teorema di Chasles trovo scritto che f, essendo un'isometria diretta, preserva l'orientazione di un certo triangolo (stiamo in uno spazio euclideo di dimensione 2).
Il problema è che il libro parla solo di orientazioni di spazi vettoriali reali e di spazi affini reali, non parla né di orientazione di figure geometriche (intendo sottoinsiemi generici di uno spazio affine) né di orientazione di triangoli né del fatto che le isometrie dirette conservano un'orientazione (che non definisce
) o che le isometrie inverse non la conservano.
Proseguendo nella lettura della dimostrazione, poi, leggo che f agisce su una certa retta r come una traslazione quindi, poiché è diretta, agisce come la stessa traslazione su tutto il piano. Sinceramente non capisco il perché.
Grazie dell'aiuto,
Leonardo
Studiado sul Sernesi 1 la dimostrazione del teorema di Chasles trovo scritto che f, essendo un'isometria diretta, preserva l'orientazione di un certo triangolo (stiamo in uno spazio euclideo di dimensione 2).
Il problema è che il libro parla solo di orientazioni di spazi vettoriali reali e di spazi affini reali, non parla né di orientazione di figure geometriche (intendo sottoinsiemi generici di uno spazio affine) né di orientazione di triangoli né del fatto che le isometrie dirette conservano un'orientazione (che non definisce
) o che le isometrie inverse non la conservano.Proseguendo nella lettura della dimostrazione, poi, leggo che f agisce su una certa retta r come una traslazione quindi, poiché è diretta, agisce come la stessa traslazione su tutto il piano. Sinceramente non capisco il perché.
Grazie dell'aiuto,
Leonardo
Risposte
non conosco il Sernesi e non ricordo l'argomento di cui parli.
penso però che la questione sia il fatto che un'isometria diretta può essere solo una rototraslazione.
se una retta viene traslata, è possibile che ci sia una componente di rotazione? forse di 180° (è per caso da escludere?): nel caso di rotazione di 180°, anche un triangolo viene trasformato in uno isometrico in maniera diretta, non è come nel caso della simmetria...
prova a vedere se per caso, cambiando l'orientamento, non è assimilabile alla traslazione una tale trasformazione della retta...
spero di esserti stata utile. aspettiamo comunque che intervenga qualcuno più esperto. intanto ti conviene cercare in internet qualche risposta alle definizioni che ti mancano.
penso però che la questione sia il fatto che un'isometria diretta può essere solo una rototraslazione.
se una retta viene traslata, è possibile che ci sia una componente di rotazione? forse di 180° (è per caso da escludere?): nel caso di rotazione di 180°, anche un triangolo viene trasformato in uno isometrico in maniera diretta, non è come nel caso della simmetria...
prova a vedere se per caso, cambiando l'orientamento, non è assimilabile alla traslazione una tale trasformazione della retta...
spero di esserti stata utile. aspettiamo comunque che intervenga qualcuno più esperto. intanto ti conviene cercare in internet qualche risposta alle definizioni che ti mancano.
Prima di tutto grazie dell'interessamento. 
Per rototraslazione intendi la composizione di una traslazione con una rotazione? Comunque si, il succo è questo ed enuncio il teorema di Chasles come lo riporta il libro:
Su internet ho già cercato ma ho trovato solo informazioni dal punto di vista della geometria elementare (quella di Euclide ed Hilbert, cioè delle scuole superiori). Io devo trattare l'argomento da un punto di vista completamente astratto, con l'algebra lineare, tanto per capirci. Per esempio che cosa intendi per orientamento e per isometria diretta (nel caso in cui non utilizzi la definizione secondo cui è diretta quando la matrice associata all'operatore unitario corrispondente ha determinante uguale ad 1)?
Da quello che ho trovato su internet se ho un triangolo $ABC$ ed una isometria f lo trasforma in un triangolo $h(A)h(B)h(C)$ ed i vertici A,B,C si percorrono in senso antiorario, h è diretta se anche h(A), h(B), h(C) si percorrono in senso antiorario, altrimenti è inversa. Questo nello spazio dei vettori geometrici della geometria elementare, però. Io mi trovo in uno spazio euclideo di dimensione 2 qualunque: per esempio, se lo spazio vettoriale euclideo associato è quello dei polinomi in $RR$ di grado $<=$ 1 e lo considero come spazio affine su se stesso, che senso ha percorrere dei polinomi in senso orario? Deve esistere una definizione rigorosa, che però il mio libro non riporta!
Comunque grazie 1000, ciao
Leonardo
"adaBTTLS":
non conosco il Sernesi e non ricordo l'argomento di cui parli.
penso però che la questione sia il fatto che un'isometria diretta può essere solo una rototraslazione.
Per rototraslazione intendi la composizione di una traslazione con una rotazione? Comunque si, il succo è questo ed enuncio il teorema di Chasles come lo riporta il libro:
Una isometria del piano euclideo E che fissa un punto è una rotazione oppure una riflessione a seconda che sia diretta o inversa. Una isometria di E che non fissa alcun punto è una traslazione oppure una glissoriflessione a seconda che sia diretta o inversa.
"adaBTTLS":
se una retta viene traslata, è possibile che ci sia una componente di rotazione? forse di 180° (è per caso da escludere?): nel caso di rotazione di 180°, anche un triangolo viene trasformato in uno isometrico in maniera diretta, non è come nel caso della simmetria...
prova a vedere se per caso, cambiando l'orientamento, non è assimilabile alla traslazione una tale trasformazione della retta...
spero di esserti stata utile. aspettiamo comunque che intervenga qualcuno più esperto. intanto ti conviene cercare in internet qualche risposta alle definizioni che ti mancano.
Su internet ho già cercato ma ho trovato solo informazioni dal punto di vista della geometria elementare (quella di Euclide ed Hilbert, cioè delle scuole superiori). Io devo trattare l'argomento da un punto di vista completamente astratto, con l'algebra lineare, tanto per capirci. Per esempio che cosa intendi per orientamento e per isometria diretta (nel caso in cui non utilizzi la definizione secondo cui è diretta quando la matrice associata all'operatore unitario corrispondente ha determinante uguale ad 1)?
Da quello che ho trovato su internet se ho un triangolo $ABC$ ed una isometria f lo trasforma in un triangolo $h(A)h(B)h(C)$ ed i vertici A,B,C si percorrono in senso antiorario, h è diretta se anche h(A), h(B), h(C) si percorrono in senso antiorario, altrimenti è inversa. Questo nello spazio dei vettori geometrici della geometria elementare, però. Io mi trovo in uno spazio euclideo di dimensione 2 qualunque: per esempio, se lo spazio vettoriale euclideo associato è quello dei polinomi in $RR$ di grado $<=$ 1 e lo considero come spazio affine su se stesso, che senso ha percorrere dei polinomi in senso orario? Deve esistere una definizione rigorosa, che però il mio libro non riporta!
Comunque grazie 1000, ciao
Leonardo
prego.
le definizioni che hai riportato corrispondono a quelle "elementari" della geometria euclidea.
il succo della questione mi pare sia questo:
e dunque per questo mi chiedevo se una "glissoriflessione" di una retta che in realtà venga traslata e ribaltata su se stessa in modo che abbia un unico punto unito (nel ribaltamento) però (sempre nel ribaltamento) l'immagine della retta sia se stessa, possa essere "confusa" con una semplice traslazione. se la risposta è no, indipendentemente da definizioni più approfondite e più ampie, la frase ha un senso anche solo nella geometria elementare. se la risposta fosse sì, invece, sarebbe sbagliata secondo il mio punto di vista.
per "enti non geometrici", suppongo si debbano tradurre le definizioni che hai citato mediante proprietà specifiche.
spero di esserti stata utile. se dovessi trovare qualcosa di interessante, te lo segnalerò. ciao.
le definizioni che hai riportato corrispondono a quelle "elementari" della geometria euclidea.
il succo della questione mi pare sia questo:
leggo che f agisce su una certa retta r come una traslazione quindi, poiché è diretta, agisce come la stessa traslazione su tutto il piano
e dunque per questo mi chiedevo se una "glissoriflessione" di una retta che in realtà venga traslata e ribaltata su se stessa in modo che abbia un unico punto unito (nel ribaltamento) però (sempre nel ribaltamento) l'immagine della retta sia se stessa, possa essere "confusa" con una semplice traslazione. se la risposta è no, indipendentemente da definizioni più approfondite e più ampie, la frase ha un senso anche solo nella geometria elementare. se la risposta fosse sì, invece, sarebbe sbagliata secondo il mio punto di vista.
per "enti non geometrici", suppongo si debbano tradurre le definizioni che hai citato mediante proprietà specifiche.
spero di esserti stata utile. se dovessi trovare qualcosa di interessante, te lo segnalerò. ciao.
Ciao a tutti, ho risolto.
Una dimostrazione rigorosa ed algebrica del teorema di Chasles l'ho trovata sulla collana
"Esercizi di algebra lineare e geometria", volume 7, "Affinità, isometrie, proiettività" di Giulio Campanella, a pagina 19.
Questa dimostrazione non fa uso, fortunatamente, del concetto di orientazione di cui ho trovato ampie spiegazioni su un testo consigliato dalla bibliografia del Sernesi,
"Geometry I" di M. Berger, Springer.
Ovviamente, dato che al momento non ho né il tempo né le capacità per capire veramente qualcosa sull'orientazione, ho lasciato perdere
.
Ciao,
Leonardo
Una dimostrazione rigorosa ed algebrica del teorema di Chasles l'ho trovata sulla collana
"Esercizi di algebra lineare e geometria", volume 7, "Affinità, isometrie, proiettività" di Giulio Campanella, a pagina 19.
Questa dimostrazione non fa uso, fortunatamente, del concetto di orientazione di cui ho trovato ampie spiegazioni su un testo consigliato dalla bibliografia del Sernesi,
"Geometry I" di M. Berger, Springer.
Ovviamente, dato che al momento non ho né il tempo né le capacità per capire veramente qualcosa sull'orientazione, ho lasciato perdere
.Ciao,
Leonardo
"Leonardo89":
"Esercizi di algebra lineare e geometria", volume 7, "Affinità, isometrie, proiettività" di Giulio Campanella, a pagina 19.
Stiamo parlando dei file pdf sul sito del prof.?
Sul sito web di Campanella ci sono gli appunti di algebra con esercizi, non quelli di algebra lineare e geometria, almeno mi sembra. Temo che te ne dovrai procurare una versione cartacea, Wiz .
.
OK.
Grazie.
Grazie.
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