Teorema di caratterizzazione delle basi

[lepre561]

Salve,
ho un problema con questo teorema. Ho capito cosa richiede ma non ho ben capito come dimostrarlo.
Soprattutto perchè mi ritrovo, controllando gli appunti del prof e il libro, due cose non perfettamente uguali.

Qualcuno che può darmi una dimostrazione???

Grazie

[Magma1]

È più facile ottenere risposta se sei tu a postare la tua dimostrazione e far notare cosa non ti convince.

[lepre561]

"Magma":È più facile ottenere risposta se sei tu a postare la tua dimostrazione e far notare cosa non ti convince.

Allora il teorema dice sia V una spazio non banale e B un sistema di vettori. B è una base se e solo se vale una delle seguenti:
1 B è un sistema di vettori linearmente indipendenti massimali
2 B è un sistema di vettori generatori minimali.
3 $AA$ v $EE$ V $EE$! ( a1,.....,an) $EE$ K : v= sommatoria ai vi.

A questo punto se ho capito bene bisogna dimostrare che queste 3 condizioni hanno una valenza.
Dalla prima otteniamo che B$uu${v} non è linearmente indipendente in quanto 0= -v + a1v1+ a2v2+.....+ anvn
siccome - v è non nullo allora il sistema è linearmente dipendente.

dalla seconda otteniamo B\{vi} è un sistema di generatori in quanto suppoendo i= 1 avremo 0= -v1 + a2v2+....+anvn
-v1 è non nullo e dunque B\{vi} non è un sistema di generatori


Dalla terza otteniamo: siccome B è una base so già che $AA$ v $in$ V: $EE$ ai: v = aiv1+a2v2+.....+anvn
vogliamo dimostrare che tali scalari sono univocamente determinati
$EE$$\beta$ : v = $\beta$1v1+$\beta$2v2+....+$\beta$nvn.
Quindi avremo che 0=(a1-$\beta$1)v1 + (a2-$\beta$2)v2+...+ (an-$\beta$n)vn.

A questo punto bisogna provare che ognuna delle condizioni 1,2,3 implica che B è una base.

Dalla 1 sappiamo che è un sistema linearmente indipendente e dunque basta dimostrare che è anche un sistema di generatori.

Dalla 3 sappiamo che un sistema di generatori e devo dimostrare che sono anche linearmente dipendenti.

Dalla 2 sappiamo che è un sistema di generatori e dobbiamo dimostrare che è anche linearmente indipendente.

Le condizioni 1 e 3 le ho comprese facilmente. Il problema cade sulla 2 in quanto non so nemmeno come impostarlo.

Fino a questo punto è tutto giusto mi potreste dimostrare solo la condizione 2 grazie