Teorema di Binet
Buonasera a tutti!
Qualcuno sarebbe in grado di dimostare che il det(A*B) = det(A)* det(B) ?
Sul libro non c'è la dimostrazione e io non riesco a dimostrarlo.
Grazie
Qualcuno sarebbe in grado di dimostare che il det(A*B) = det(A)* det(B) ?
Sul libro non c'è la dimostrazione e io non riesco a dimostrarlo.
Grazie
Risposte
Per la dimostrazione devi distinguere i due casi, $A$ invertibile e $A$ non invertibile...
I) se $A$ è invertibile la puoi vedere come risultato di matrici elemntari $E_k$ quindi $A=E_1*E_2*...*E_k$.... $det(AB)=detE_1*detE_2*...*detE_k*detB$
adesso se t ricordi c'è un teorema che dice $det(E_k*B)=detE_k*detB$ (simile a Binet) che puoi applicare in successione, ma se fai caso titte quelle matrici danno $A$, da cui la tesi...
II)Caso due, se A non è invertibile, allora non puoi scriverla come prodotto di matrici elementari ma se A non è invertibile sappiamo che $det(A)=0$ , dobbiamo soltanto far vedere che il $det(A*B)$ è nullo.
Ok, allora riduciamo $A$ per righe e scriviamola come $r=E_k*....*E_1*A$ dove $r$, poichè $A$ non è invertibile, ha almeno una riga di zeri.
Adesso $A=E_1^(-1)*....*E_k^(-1)*r$ con le $E_i^(-1)$ ancora ovviamente elementari. Allora $det(A*B)=det(E_1^(-1))*....*det(E_k^(-1))*det(r*B)$ (basta riapplicare il primo teorema che ti ho detto) e dato che $r$ ha una riga nulla anche $r*B$ ha una riga nulla e allora $det(r*B)=0$...
Spero ti sia chiaro....
ciao ciao
I) se $A$ è invertibile la puoi vedere come risultato di matrici elemntari $E_k$ quindi $A=E_1*E_2*...*E_k$.... $det(AB)=detE_1*detE_2*...*detE_k*detB$
adesso se t ricordi c'è un teorema che dice $det(E_k*B)=detE_k*detB$ (simile a Binet) che puoi applicare in successione, ma se fai caso titte quelle matrici danno $A$, da cui la tesi...
II)Caso due, se A non è invertibile, allora non puoi scriverla come prodotto di matrici elementari ma se A non è invertibile sappiamo che $det(A)=0$ , dobbiamo soltanto far vedere che il $det(A*B)$ è nullo.
Ok, allora riduciamo $A$ per righe e scriviamola come $r=E_k*....*E_1*A$ dove $r$, poichè $A$ non è invertibile, ha almeno una riga di zeri.
Adesso $A=E_1^(-1)*....*E_k^(-1)*r$ con le $E_i^(-1)$ ancora ovviamente elementari. Allora $det(A*B)=det(E_1^(-1))*....*det(E_k^(-1))*det(r*B)$ (basta riapplicare il primo teorema che ti ho detto) e dato che $r$ ha una riga nulla anche $r*B$ ha una riga nulla e allora $det(r*B)=0$...
Spero ti sia chiaro....
ciao ciao
Grazie. Devo studiarmelo. Se ci sono problemi te lo faccio sapere.
Ciao
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