Teorema di algebra lineare
Teorema 4.2. La matrice $A^T*A$ è non singolare se e solo se le colonne di $ A $ sono linearmente indipendenti ( cioè se A ha rango massimo).
Dim.
Supponiamo che le colonne di $A$ siano linearmente dipendenti; ciò significa che $∃ x ≠0 $ tale che $ Ax=0 $ ed anche
$ A^TAx=0 $. In tal caso $A^TA $sarebbe singolare.
Viceversa, supponiamo che $A^TA$ sia singolare. Allora $ ∃ x ≠0 $ tale che $ A^TAx=0 $ ed anche $ x^TA^TAx=0 $. Per le proprietà del prodotto scalare sarebbe $ Ax=0 $ con $ x ≠0$, da cui si deduce che le colonne di A sono linearmente dipendenti.
chi mi spiega a quale proprietà del prodotto scalare si riferisce?
Dim.
Supponiamo che le colonne di $A$ siano linearmente dipendenti; ciò significa che $∃ x ≠0 $ tale che $ Ax=0 $ ed anche
$ A^TAx=0 $. In tal caso $A^TA $sarebbe singolare.
Viceversa, supponiamo che $A^TA$ sia singolare. Allora $ ∃ x ≠0 $ tale che $ A^TAx=0 $ ed anche $ x^TA^TAx=0 $. Per le proprietà del prodotto scalare sarebbe $ Ax=0 $ con $ x ≠0$, da cui si deduce che le colonne di A sono linearmente dipendenti.
chi mi spiega a quale proprietà del prodotto scalare si riferisce?
Risposte
La matrice \(A^T\times A\) definisce un prodotto scalare simmetrico \(s\) definito così:\[s(u;v)=u^T\times A^T\times A\times v;\] nel tuo caso risulta che: \[\forall y\in\mathbb{V},\,s(y;x)=0\] quindi \(x\) è un annullatore per \(s\).
Considerato, invece, il prodotto scalare non simmetrico:\[t(u;v)=u^T\times A\times v\] si ha che:\[\forall y\in\mathbb{V},\,t(A\times y^T;x)=0\] ovvero \(x\) è un annullatore destro per \(t\), da cui l'affermazione della dimostrazione.
Il tutto funziona a meno di miei errori!
Considerato, invece, il prodotto scalare non simmetrico:\[t(u;v)=u^T\times A\times v\] si ha che:\[\forall y\in\mathbb{V},\,t(A\times y^T;x)=0\] ovvero \(x\) è un annullatore destro per \(t\), da cui l'affermazione della dimostrazione.
Il tutto funziona a meno di miei errori!
Perpiacere potresti spiegarmi meglio l'ultimo passaggio della dimostrazione, magari in modo più specifico.non capisco da dove esce $x^T$. e nemmeno il resto . grazie
"j18eos":
La matrice \(A^T\times A\) definisce un prodotto scalare simmetrico \(s\) definito così:\[s(u;v)=u^T\times A^T\times A\times v;\] nel tuo caso risulta che: \[\forall y\in\mathbb{V},\,s(y;x)=0\] quindi \(x\) è un annullatore per \(s\).
Considerato, invece, il prodotto scalare non simmetrico:\[t(u;v)=u^T\times A\times v\] si ha che:\[\forall y\in\mathbb{V},\,t(A\times y^T;x)=0\] ovvero \(x\) è un annullatore destro per \(t\), da cui l'affermazione della dimostrazione.
Il tutto funziona a meno di miei errori!
Non so cosa sia un prodotto scalare simmetrico, se gentilmente potresti spiegarmi meglio anche la dimostrazione grazie!!
"Sergio":Sì, esatto!
...Sembra che j18eos intenda invece per prodotto scalare una qualsiasi forma bilineare e che distingua per questo tra prodotto scalare simmetrico e non simmetrico...
pasqualinux per le prossime volte specifica a chi ti stai rivolgendo, a saperlo ti avrei risposto per tempo.
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