Teorema di Adams
Il prof di topologia per concludere il corso ci ha fatto un introduzione, di 2 minuti, sul teorema di Adams, il cui enunciato è
Esiste in \( \pi_{2n-2}S^n \) un'applicazione d'invarianza di Hopf di grado \(1\) se e solo se \(n = 2,4,8\).
Poi ha aggiunto che
E se aggiungiamo \(1 \), per avere dunque \(n=1,2,4,8\) abbiamo che corrisponde esattamente alle dimensioni delle unica \(\mathbb{R}\)-algebre ovvero \( \mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}\), dove con \( \mathbb{H} \) intendo i quaternioni e con \( \mathbb{O}\) gli ottenioni. In più le sfere unitarie \(S^0,S^1,S^3,S^7\) sono le uniche sfere equipaggiate di una struttura di \(H\)-spazio, da notare che \(C_2\) e \(S^1\) sono commutativi e associativi, \(S^3\) non è commutativo e \(S^7\) non è commutativo e neppure associativo. Non è una sorpresa inoltre che
\( \mathbb{R}P^2 = S^1 \cup_2 e^2 \), \( \mathbb{C}P^2 = S^2 \cup_{\eta} e^4 \), \( \mathbb{H}P^2 = S^4 \cup e^8 \) e \( \mathbb{O}P^2 = S^8 \cup e^{16} \). Dove \( \eta \) è l'applicazione di Hopf
Mi chiedevo, visto che non lo ha detto, come sono collegati tutti questi risultati e quali siano le applicazioni che descrivono l'incollamento della 8-cellula e della 16-cellula rispettivamente per lo spazio proiettivo dei quaternioni e degli ottenioni. Ed inoltre non ho trovato qual'è la definizione di \(H\)-spazio
Esiste in \( \pi_{2n-2}S^n \) un'applicazione d'invarianza di Hopf di grado \(1\) se e solo se \(n = 2,4,8\).
Poi ha aggiunto che
E se aggiungiamo \(1 \), per avere dunque \(n=1,2,4,8\) abbiamo che corrisponde esattamente alle dimensioni delle unica \(\mathbb{R}\)-algebre ovvero \( \mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H},\mathbb{O}\), dove con \( \mathbb{H} \) intendo i quaternioni e con \( \mathbb{O}\) gli ottenioni. In più le sfere unitarie \(S^0,S^1,S^3,S^7\) sono le uniche sfere equipaggiate di una struttura di \(H\)-spazio, da notare che \(C_2\) e \(S^1\) sono commutativi e associativi, \(S^3\) non è commutativo e \(S^7\) non è commutativo e neppure associativo. Non è una sorpresa inoltre che
\( \mathbb{R}P^2 = S^1 \cup_2 e^2 \), \( \mathbb{C}P^2 = S^2 \cup_{\eta} e^4 \), \( \mathbb{H}P^2 = S^4 \cup e^8 \) e \( \mathbb{O}P^2 = S^8 \cup e^{16} \). Dove \( \eta \) è l'applicazione di Hopf
Mi chiedevo, visto che non lo ha detto, come sono collegati tutti questi risultati e quali siano le applicazioni che descrivono l'incollamento della 8-cellula e della 16-cellula rispettivamente per lo spazio proiettivo dei quaternioni e degli ottenioni. Ed inoltre non ho trovato qual'è la definizione di \(H\)-spazio
Risposte
Si chiama sempre mappa di Hopf, anche in dimensione superiore; un $H$-spazio è definito su wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/H-space
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo