Teorema dello scambio-Corollari.
Buonasera,
Sul pdf consigliato dalla prof. viene enunciato e dimostrato il teorema dello scambio dopodiché, vengono riportati i seguenti corollari:
A) In uno spazio vettoriale generato da $n$ vettori esistono al più $n$ vettori linearmente dipendenti.
B) Uno spazio vettoriale $V$ è di dimensione infinita se e solo se per ogni intero positivo $m$ esistono $m$ vettori linearmente indipendenti in $V$
C) Ogni sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita ha ancora dimensione finita.
Quella che segue è la dimostrazione di C) riportata sul manuale la quale non mi è chiara.
Sia $W$ sottospazio vettoriale di $V$ e siano $w_1, w_2, ...., w_m in W$ vettori linearmente indipendenti, allora lo sono anche in $V$. Basta applicare la B).
Ora non capisco perché bisogna applicare la B), penserei più alla A).
Io ho provato a dimostrare la C), ma prima di riportare la dimostrazione ho bisogno della seguente osservazione:
Siano $A$ sottoinsieme finito di $V$ spazio vettoriale e $W$ sottospazio vettoriale di $W$ allora
$A subseteq W leftrightarrow span(A) subseteq W.$
Dimostrazione:
Sia $W subseteqV$, $dim(V)=n< +infty$.
Considero $A={w_1, w_2,...,w_m}$ di $W$.
Se i vettori di $A$ sono linearmente indipendenti allora lo sono anche in $V,$ dal Teorema dello scambio, l'ordine del sistema di $A$ è $m le n$.
Sia quindi $m$ il massimo di tale ordine, allora basta far vedere che $span(A)=W$.
Dalla osservazione fatta in precedenza si ha $span(A)subseteqW$ invece,
sia $y in W$ allora $y=a_1w_1+a_2+w_2+...+a_mw_m+a_(m+1)w_(m+1)+...+a_nw_n$
in tal caso basta porre $a_(m+1)=...=a_n=0_(K)$ cosicché $y in span(A)$ per definizione, per cui si ha l'uguaglianza.
Quindi essendo $W$ uno spazio vettoriale finitamente generato da $A$ con $m$ finito, allora $W$ ha dimensione finita.
Va bene cosi ?
Sul pdf consigliato dalla prof. viene enunciato e dimostrato il teorema dello scambio dopodiché, vengono riportati i seguenti corollari:
A) In uno spazio vettoriale generato da $n$ vettori esistono al più $n$ vettori linearmente dipendenti.
B) Uno spazio vettoriale $V$ è di dimensione infinita se e solo se per ogni intero positivo $m$ esistono $m$ vettori linearmente indipendenti in $V$
C) Ogni sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita ha ancora dimensione finita.
Quella che segue è la dimostrazione di C) riportata sul manuale la quale non mi è chiara.
Sia $W$ sottospazio vettoriale di $V$ e siano $w_1, w_2, ...., w_m in W$ vettori linearmente indipendenti, allora lo sono anche in $V$. Basta applicare la B).
Ora non capisco perché bisogna applicare la B), penserei più alla A).
Io ho provato a dimostrare la C), ma prima di riportare la dimostrazione ho bisogno della seguente osservazione:
Siano $A$ sottoinsieme finito di $V$ spazio vettoriale e $W$ sottospazio vettoriale di $W$ allora
$A subseteq W leftrightarrow span(A) subseteq W.$
Dimostrazione:
Sia $W subseteqV$, $dim(V)=n< +infty$.
Considero $A={w_1, w_2,...,w_m}$ di $W$.
Se i vettori di $A$ sono linearmente indipendenti allora lo sono anche in $V,$ dal Teorema dello scambio, l'ordine del sistema di $A$ è $m le n$.
Sia quindi $m$ il massimo di tale ordine, allora basta far vedere che $span(A)=W$.
Dalla osservazione fatta in precedenza si ha $span(A)subseteqW$ invece,
sia $y in W$ allora $y=a_1w_1+a_2+w_2+...+a_mw_m+a_(m+1)w_(m+1)+...+a_nw_n$
in tal caso basta porre $a_(m+1)=...=a_n=0_(K)$ cosicché $y in span(A)$ per definizione, per cui si ha l'uguaglianza.
Quindi essendo $W$ uno spazio vettoriale finitamente generato da $A$ con $m$ finito, allora $W$ ha dimensione finita.
Va bene cosi ?
Risposte
Prendi \( V \) di dimensione \( n \), e prendi \( W \) sottospazio. Se \( W \) fosse di dimensione infinita, per la B, dato \( m = n + 1 \) potresti trovare vettori \( w_1,\dots,w_n,w_{n + 1} \) in \( W \) (e quindi in \( V \)) linearmente indipendenti - oh, no!
Ahaha rido per oh, ho!
Comunque, si ho capito ora, grazie.
Ma quello che ho riportato per dimostrarlo potrebbe andare bene ?
Comunque, si ho capito ora, grazie.
Ma quello che ho riportato per dimostrarlo potrebbe andare bene ?
Nota a margine: la A è scritta male.
Un enunciato più sensato è: in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ ogni sistema formato da più di $n$ vettori non è linearmente indipendente.
Un enunciato più sensato è: in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ ogni sistema formato da più di $n$ vettori non è linearmente indipendente.
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