Teorema della permanenza del segno, dimostrazione topologica
Sia $X$ uno spazio topologico, sia $x_0inX$ e sia $f:X-> RR$ una funzione continua. Si provino le seguenti affermazioni.
(1) Se $f(x_0) > 0$, allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ in $X$ tale che per ogni $x inU$ vale $f(x) > 0$.
(2) Se $x_0$ non è un punto isolato in $X$ ed esiste un intorno $U$ di $x_0$ in $X$ tale che per ogni $x inU\\{x_0}$ vale $f(x)>=0$, allora $f(x_0)>= 0$.
In (1) si può richiedere che $U$ sia aperto in $X$? Si ricordi che, per definizione, un punto $x_0inX$ si dice isolato in $X$ se ${x_0}$ è aperto in $X$.
(1) Abbiamo che $f(x_0)in(0,+infty)$ e $(0,+infty)$ è aperto di $RR$ per cui $(0,+infty)$ è un intorno di $f(x_0)$ in $RR$, per continuità di $f$ si ha quindi che $f^-1($ $(0,+infty))$ è un intorno di $x_0$, in particolare è aperto (sempre per continuità di $f$), quindi posto $U=f^-1($ $(0,+infty))$ si ha che $AAx inU$ vale $f(x)>0$, in questo modo abbiamo risposto anche all'ultima domanda (ovvero abbiamo mostrato che $U$ può essere aperto).
(2) Supponiamo per assurdo che $f(x_0)<0$ allora per il punto (1) esiste $V$ intorno di $x_0$ in $X$ tale che per ogni $x inV$ vale $f(x)<0$, ora siccome ${x_0}$ non è isolato si ha che $Usup{x_0}$ e $Vsup{x_0}$, per cui $UnnVsup{x_0}$, allora preso $x inUnnV$, $x!=x_0$, si avrebbe che $f(x)>=0$ poichè $x inU\\{x_0}$ e $f(x)<0$ poichè $x inV$, assurdo.
(1) Se $f(x_0) > 0$, allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ in $X$ tale che per ogni $x inU$ vale $f(x) > 0$.
(2) Se $x_0$ non è un punto isolato in $X$ ed esiste un intorno $U$ di $x_0$ in $X$ tale che per ogni $x inU\\{x_0}$ vale $f(x)>=0$, allora $f(x_0)>= 0$.
In (1) si può richiedere che $U$ sia aperto in $X$? Si ricordi che, per definizione, un punto $x_0inX$ si dice isolato in $X$ se ${x_0}$ è aperto in $X$.
(1) Abbiamo che $f(x_0)in(0,+infty)$ e $(0,+infty)$ è aperto di $RR$ per cui $(0,+infty)$ è un intorno di $f(x_0)$ in $RR$, per continuità di $f$ si ha quindi che $f^-1($ $(0,+infty))$ è un intorno di $x_0$, in particolare è aperto (sempre per continuità di $f$), quindi posto $U=f^-1($ $(0,+infty))$ si ha che $AAx inU$ vale $f(x)>0$, in questo modo abbiamo risposto anche all'ultima domanda (ovvero abbiamo mostrato che $U$ può essere aperto).
(2) Supponiamo per assurdo che $f(x_0)<0$ allora per il punto (1) esiste $V$ intorno di $x_0$ in $X$ tale che per ogni $x inV$ vale $f(x)<0$, ora siccome ${x_0}$ non è isolato si ha che $Usup{x_0}$ e $Vsup{x_0}$, per cui $UnnVsup{x_0}$, allora preso $x inUnnV$, $x!=x_0$, si avrebbe che $f(x)>=0$ poichè $x inU\\{x_0}$ e $f(x)<0$ poichè $x inV$, assurdo.
Risposte
"andreadel1988":
(1) Abbiamo che $ f(x_0)in(0,+infty) $ e $ (0,+infty) $ è aperto di $ RR $ per cui $ (0,+infty) $ è un intorno di $ f(x_0) $ in $ RR $, per continuità di $ f $ si ha quindi che $ f^-1( $ $ (0,+infty)) $ è un intorno di $ x_0 $, in particolare è aperto (sempre per continuità di $ f $), quindi posto $ U=f^-1( $ $ (0,+infty)) $ si ha che $ AAx inU $ vale $ f(x)>0 $, in questo modo abbiamo risposto anche all'ultima domanda (ovvero abbiamo mostrato che $ U $ può essere aperto).
È ok, ma in alcuni punti fai dei giri inutili (per la preimmagine uso il simbolo [tex]f^{\leftarrow}(\cdot)[/tex]).
Abbiamo che $ f(x_0)in(0,+infty) $ e $ (0,+infty) $ è aperto di $ RR $, per continuità di $ f $ si ha quindi che [tex]f^{\leftarrow}( (0,+\infty))[/tex] è un aperto contenente [tex]x_0[/tex], quindi, in particolare, un intorno di [tex]x_0[/tex]: posto [tex]U:=f^{\leftarrow}((0,+\infty))[/tex] si ha che per ogni [tex]x[/tex] in [tex]U[/tex] vale $ f(x)>0 $.
"andreadel1988":
in questo modo abbiamo risposto anche all'ultima domanda (ovvero abbiamo mostrato che $ U $ può essere aperto).
Ok, ma la richiesta voleva farti riflettere sul seguente fatto: perché puoi sostituire l'intorno di un punto sul quale vale una certa proprietà [tex]P(x)[/tex] con un opportuno aperto contenente quel punto (sul quale deve continuare a valere [tex]P(x)[/tex])?
"andreadel1988":
(2) Supponiamo per assurdo che $ f(x_0)<0 $ allora per il punto (1) esiste $ V $ intorno di $ x_0 $ in $ X $ tale che per ogni $ x inV $ vale $ f(x)<0 $, ora siccome [tex]\color{red}\{x_0\}[/tex] non è isolato si ha che $ Usup{x_0} $ e $ Vsup{x_0} $, per cui $ UnnVsup{x_0} $, allora preso $ x inUnnV $, $ x!=x_0 $, si avrebbe che $ f(x)>=0 $ poichè $ x inU\\{x_0} $ e $ f(x)<0 $ poichè $ x inV $, assurdo.
[*:hzn6mffq] [tex]\{ x_0\}[/tex] non è un punto (è un sottoinsieme), quindi non ha senso scrivere che non è isolato per [tex]X[/tex];[/*:m:hzn6mffq]
[*:hzn6mffq] cosa intendi col simbolo [tex]\subset[/tex]? Sottoinsieme o sottoinsieme proprio?[/*:m:hzn6mffq]
[*:hzn6mffq] la seguente parte non è chiara:
"andreadel1988":[/*:m:hzn6mffq][/list:u:hzn6mffq]
ora siccome $ x_0$ non è isolato si ha che $ Usup{x_0} $ e $ Vsup{x_0} $, per cui $ UnnVsup{x_0} $, allora preso $ x inUnnV $, $ x!=x_0 $...
"413":
Ok, ma la richiesta voleva farti riflettere sul seguente fatto: perché puoi sostituire l'intorno di un punto sul quale vale una certa proprietà [tex]P(x)[/tex] con un opportuno aperto contenente quel punto (sul quale deve continuare a valere [tex]P(x)[/tex])?
Vabbe perchè per definizione l'intorno contiene un aperto quindi se è una proprietà puntuale se vale dentro l'intorno vale anche dentro ogni suo sottoinsieme e quindi nell'aperto (che poi gli aperti sono dei particolari intorni).
"413":[/*:m:9n1kxa7q][/list:u:9n1kxa7q]
[*:9n1kxa7q] [tex]\{ x_0\}[/tex] non è un punto (è un sottoinsieme), quindi non ha senso scrivere che non è isolato per [tex]X[/tex];[/*:m:9n1kxa7q]
[*:9n1kxa7q] cosa intendi col simbolo [tex]\subset[/tex]? Sottoinsieme o sottoinsieme proprio?[/*:m:9n1kxa7q]
[*:9n1kxa7q] la seguente parte non è chiara:
[quote="andreadel1988"]ora siccome $ x_0$ non è isolato si ha che $ Usup{x_0} $ e $ Vsup{x_0} $, per cui $ UnnVsup{x_0} $, allora preso $ x inUnnV $, $ x!=x_0 $...
[/quote]
Pardon per ${x_0}$, mi era sfuggito involontariamente, per [tex]\subset[/tex] intendo sottoinsieme proprio, la parte non chiara niente avevo dedotto una cosa sbagliata, però ho letto lo spoiler e ci siamo (avevo erroneamente pensato, perchè mi sono buttato senza pensare, che se due sottoinsiemi contengono strettamente un sottoinsieme allora la loro intersezione contiene strettamente quel sottoinsieme, il che è falso).
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