Teorema del rango?

[MementoMori2]

Salve ragazzi, non riesco a capire l'ultima parte di tale dimostrazione del teorema del rango, ovvero quando afferma che che $ \lambda $ 1 b1 + .... + $ \lambda $ b(n-h) può essere scritta con la base a1, a2 ... ah ? Qual è questa espressione esplicita e come facciamo da ciò a ricavare che i vettori siano linearmente indipendenti?

[billyballo2123]

\[
f(\lambda_1 b_1+\ldots+\lambda_{n-h}b_{n-h})=0,
\]
quindi per definizione $\lambda_1 b_1+\ldots+\lambda_{n-h}b_{n-h}\in Ker(f)$, e dato che ${a_1,\ldots,a_h}$ è una base di $Ker(f)$, devono esistere $\alpha_1,\ldots,\alpha_h$ tali che
\[
\alpha_1 a_1+\ldots+\alpha_h a_h=\lambda_1 b_1+\ldots+\lambda_{n-h}b_{n-h},
\]
ovvero
\[
\alpha_1 a_1+\ldots+\alpha_h a_h-\lambda_1 b_1-\ldots-\lambda_{n-h}b_{n-h}=0.
\]
Però ${a_1,\ldots,a_h,b_1,\ldots,b_{n-h}}$ è una base di $V$, dunque $\alpha_1=\ldots=\alpha_h=0=\lambda_1=\ldots=\lambda_{n-h}$. In particolare a te interessa solo che $\lambda_1=\ldots=\lambda_{n-h}=0$.