Teorema del completamento

[Edex1]

Salve a tutti ragazzi,
vorrei una conferma su un mio tentativo di dimostrazione del teorema del completamento.
Prima di tutto lo enuncio:

Dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$ e dati ${v_1,...,v_k}$ vettori linearmente indipendenti appartenenti a $V$, sia $B = (alpha_1,...,alpha_n)$ una base di $V$ allora esistono $n-k$ vettori della base $B$ che insieme ai vettori ${v_1,...,v-k}$ formano una base

Io nella mia dimostrazione ho sfruttato il criterio di uguaglianza di sottospazi:

Siano $S$ e $T$ due sottospazi vettoriali e siano:
i) $S = Span(alpha_1,...,alpha_n)$
ii) $T = Span(beta_1,...,beta_n)$
Allora $S = T harr \forall i$ $alpha_i in Span(beta_1,...,beta_n) $ e $beta_i in Span(alpha_1,...,alpha_n)$

Partiamo dal fatto: $Span(v_1,...,v_n) sub Span(alpha_1,...,alpha_n) = S$
Ciò vuol dire (stavolta per il criterio che dice se un sottospazio è contenuto in un altro) che $forall i$ $v_i in Span(alpha_1,...,alpha_n)$.
Prendiamo $v_1$ allora $EE a_1,...,a_n t.c. v_1 = a_1alpha_1 + ... +a_nalpha_n$.
Gli $a_i$ non possono essere tutti nulli pechè altrimenti avremmo che $v_1 = O_V$, ma per ipotesi i $v_i$ sono linearmente indipendenti. A meno di riordinamenti supponiamo $a_1 != 0$.
Si ha:
$alpha_1 =1/a_1v_1 - a_2/a_1 alpha_2 - ... - a_n/a_1alpha_n$
E quindi: $alpha_1 in Span(v_1,alpha_2,...,alpha_n)$.
Questo vuol dire che $Span(alpha_1,...,alpha_n) = Span(v_1,alpha_2,...,alpha_n)$.
Applicando questo ragionamento altre $n-k-1$ volte (sempre ricordando che gli $a_i$ davanti agli $alpha_i$ non posso essere tutti altrimenti staremmo scrivendo una relazione di dipendenza lineare fra i $v_i$ che sono indipendenti per ipotesi e supponendo che, a meno di riordinamenti, al passo j-esimo sia il coefficiente $a_j$ ad essere non nullo) si arriva ad avere che:
$S = Span(alpha_1,...,alpha_n) = Span(v_1,...,v_k,alpha_(n-k),...,alpha_n)$.
Quindi abbiamo che ${v_1,...,v_k,alpha_(n-k),...,alpha_n}$ è un sistema di generatori di $n$ elementi in uno spazio di dimensione $n$ e quindi è una base. In particolare è la base cercata.

Può andare?

[Edex1]

Nessuno sa dirmi se va bene o se ho sbagliato qualcosa?