Teorema degli orlati..dubbio

[55sarah]

Ciao a tutti, ho un dubbio sul teorema degli orlati. Aiutatemi a capire meglio, come devo procedere. Grazie in anticipo.

Ho il seguente teorema degli orlati che dice

Sia A una matrice $m\times n$ e H un suo minore di ordine $q$ con $detA \ne 0$. Se tutti gli orlati di H hanno $det=0$ allora il rango di A e' esattamente $q$, ossia l'ordine di H

pero' ora ho un dubbio, ho la seguente matrice $ A=( ( 1 , 2 , 0 , 1 ),( 2 , 5 , 4 , 4 ),( 3 , 5 , -6 , 4 ) ) $

qui il rango puo' essere solo un numero compreso $1\leq \rho(A)\leq 3$

qui ho preso un minore di ordine 2 $ H=| ( 0 , 1 ),( 4 , 4 ) | =-4 \ne 0 $

poi sono andata avanti, siccome il rango e' il num max dei minori non nulli, ho orlato quel minore che ho trovato, e l'ho fatta diventare una 3x3 $ H_1=( ( 2 , 0 , 1 ),( 5 , 4 , 4 ),( 5 , -6 , 4 ) )=30\ne 0 $

Da qui ho concluso dicendo che la matrice $A$ ha rango 3

E' corretto il metodo? Oppure proprio devo cercare tutti i minori di ordine 2 e tutti i minori di ordine 3?

Per trovare il rango quale metodo si applica di piu' e che e' piu' veloce?

[Kashaman]

Non tutti , solo gli orlati!
questo criterio è proprio comodo perché ti evita di calcolarti esplicitamente tutti i minori.

[55sarah]

ah per cui se ho una matrice $ A=( ( a_1 , a_2 , a_3 , a_4 ),( b_1 , b_2 , b_3 , b_4 ),( c_1 , c_2 , c_3 , c_4 ) ) $

e ammettiamo che prendo questo minore $ H=( ( a_1 , a_2 ),( b_1 , b_2 ) ) $ e $det H \ne 0$

allora orlo il minore e se $ H_1=( ( a_1 , a_2 , a_3 ),( b_1 , b_2 , b_3 ),( c_1 , c_2 , c_3 ) ) $ $det H_1\ne 0$

allora posso dire che $\rho(A)=3$

mentre se dovesse capitarmi il caso se $H_1=( ( a_1 , a_2 , a_3 ),( b_1 , b_2 , b_3 ),( c_1 , c_2 , c_3 ) ) $ e il suo determinante e' $det H_1=0$

devo trovare un altro minore 3x3 e vedere cosa mi esce. Esatto?