Teorema: basi di autovettori e endomorfismi normali(risolto)

[cristian_c]

ciao, sono alle prese con questo ostico teorema:

Sia T: V->V un endomorfismo di uno spazio vettoriale metrico V sul campo K. Allora esiste una base ortonormale B di V composta da autovettori di T se e solo se T è normale e ha tutti gli autovalori in K.

Passo alla dimostrazione:

Supponiamo che esista una base ortonormale di autovettori di T. Allora T ha necessariamente tutti gli autovalori in K (Lemma...)

Mi fermo un attimo per citare il Lemma:

Sia T: V->V un endomorfismo triangolabile di uno spazio vettoriale di uno spazio vettoriale sul campo K. Allora T ha tutti gli autovalori in K.

Riprendo la dimostrazione del teorema:

..e il ragionamento che ci ha portato alla Definizione... mostra che T è normale

Mi fermo di nuovo per citare la definizione:

Un endomorfismo T:V->V di uno spazio vettoriale metrico V è detto normale se ||T(v)|| = ||T*(v)|| per ogni v[tex]\in[/tex]V

(ricordo che ||·|| è la norma e T* è l'aggiunta)

Continuo con la dimostrazione del teorema:

Viceversa supponiamo T normale e con tutti gli autovalori in K, e procediamo per induzione sulla dimensione di V. Se dim V = 1 non c'è nulla da dimostrare; sia allora dim V = n>1, e supponiamo l'asserto vero per tutti gli spazi vettoriali metrici di dimensione n-1.

Adesso passiamo alla parte tosta:

Sia [tex]\lambda_1 \in[/tex] sp(T) un autovalore di T (per ipotesi almeno uno esiste), e prendiamo un autovettore [tex]v_1 \ne O[/tex] relativo a [tex]\lambda_1[/tex]; possiamo supporre che ||[tex]v_1[/tex]|| = 1.
Sia W = Span[tex](v_1)^{\perp}[/tex]; vogliamo dimostrare che T(W) [tex]\subseteq[/tex] W. Ma infatti sia w[tex]\in[/tex]W; allora la Proposizione...

Mi fermo ancora una volta per citare la Proposizione:

Sia T:V->V un endomorfismo normale di uno spazio vettoriale metrico. Allora:
(i) il vettore [tex]v_0\in V[/tex] è autovettore di T relativo all'autovalore [tex]\lambda_0[/tex] se e solo se [tex]v_0[/tex] è autovettore di T* relativo all'autovalore [tex]\bar{\lambda_0}[/tex];
...

e continuando la dimostrazione del teorema:

...allora la Proposizione implica che:
[tex] = = <\bar{\lambda_1}v_1,w> = \bar{\lambda_1} = 0[/tex]
per cui T(W) [tex]\subseteq[/tex] W. Dunque T[tex]\mid_W[/tex]:W->W è un endomorfismo normale di uno spazio vettoriale metrico di dimensione n-1.

Ora quello che io non capisco in particolare, tra le altre cose è questo: come fa a dire che T(W) è contenuto o coincide con W? Se fosse solo contenuto si userebbe il simbolo di sottoinsieme proprio, se coincidesse si userebbe il simbolo '='. Quello che non capisco è come fa a dimostrare questo.

Grazie a chi vorrà rispondermi

[cirasa]

Non sono sicuro di aver capito la tua domanda. Provo comunque a risponderti.

"cristian_c":Ora quello che io non capisco in particolare, tra le altre cose è questo: come fa a dire che T(W) è contenuto o coincide con W? Se fosse solo contenuto si userebbe il simbolo di sottoinsieme proprio, se coincidesse si userebbe il simbolo '='. Quello che non capisco è come fa a dimostrare questo.

L'idea è sfruttare l'ipotesi induttiva che ci permette di considerare vera la tesi per endomorfismi normali su spazi di dimensione [tex]n-1[/tex].
Costruisce dunque uno spazio di dimensione [tex]n-1[/tex] che è appunto [tex]W=span(v_1)^\perp[/tex].
Considera l'endomorfismo [tex]T_{|W}[/tex] (l'applicazione [tex]T[/tex] ristretta a [tex]W[/tex]). Il problema è se [tex]T_{|W}[/tex] manda un elemento di [tex]W[/tex] in un elemento che è ancora di [tex]W[/tex].
E allora prende un elemento [tex]w[/tex] di [tex]W[/tex] e si chiede se [tex]T(w)\in W[/tex] (ovvero se [tex]T(W)\subseteq W[/tex]).
Per provare che [tex]T(w)\in W[/tex], dimostra equivalentemente che [tex]=0[/tex] in questi passaggi che tu hai citato

"cristian_c":[tex] = = <\bar{\lambda_1}v_1,w> = \bar{\lambda_1} = 0[/tex]

Spero di aver risolto il tuo dubbio. Se ci sono problemi, chiedi pure...

P.S. Quasi dimenticavo...benvenuto nel forum e buona permanenza

[cristian_c]

P.S. Quasi dimenticavo...benvenuto nel forum e buona permanenza

Grazie per la risposta e per l'accoglienza

"cirasa":E allora prende un elemento [tex]w[/tex] di [tex]W[/tex] e si chiede se [tex]T(w)\in W[/tex] (ovvero se [tex]T(W)\subseteq W[/tex]).

Quindi il testo indica T(W) come sottoinsieme generico ([tex]\subseteq[/tex]) senza specificare se è un sottoinsieme proprio ([tex]\subset[/tex]) oppure se coincide con l'insieme W (=). Giusto?

[cirasa]

Giusto.
Noi abbiamo [tex]T:V\to V[/tex] e facciamo la sua restrizione a [tex]W[/tex]. Affinchè tale restrizione sia un endomorfismo di [tex]W[/tex], [tex]T(W)[/tex] deve essere un sottoinsieme di [tex]W[/tex] (sottoinsieme proprio oppure [tex]T(W)=W[/tex]).

[cristian_c]

Grazie, sono riuscito finalmente a completare lo studio di questo teorema