Tensori...terribili tensori
Ciao. Ho avuto modo di leggere due definizioni differenti dei
"terribili" tensori: una più algebrica che definisce i tensori come
mappe multilineari e un'altra, forse più geometrica, che li definisce
come insieme di quantità che si trasformano secondo ben determinate
leggi.
Che relazione c'è tra le due definizioni? Come si può mostrare che
sono equivalenti?
"terribili" tensori: una più algebrica che definisce i tensori come
mappe multilineari e un'altra, forse più geometrica, che li definisce
come insieme di quantità che si trasformano secondo ben determinate
leggi.
Che relazione c'è tra le due definizioni? Come si può mostrare che
sono equivalenti?
Risposte
Domanda interessante, che mi pongo da tempo, ma che non ho mai trovato il tempo per cercare una risposta.
Definire i tensori senza l’ausilio delle coordinate è stato affrontato nei primi del ‘900 da Burali-Forti e Marcolongo (ho un loro libro nell’edizione del 1929, che non ho mai letto) e solo negli ultimi tempi ha trovato piede (ad es. Levi-Civita non l’ha mai presa in considerazione).
Forse si può rispondere sulla falsariga dei vettori (che sono parte dei tensori) dei quali si possono dare tre rappresentazioni equivalenti:
-geometrica (segmenti orientati),
-algebrica (insieme ordinato di numeri),
-assiomatica (spazi lineari),
ma che hanno in comune le due operazioni di addizione e di moltiplicazione per uno scalare.
Mi fermo, essendo le mie conoscenze molto limitate, di più, molto di più, può dire Luca Lussardi (se ha tempo e voglia).
Definire i tensori senza l’ausilio delle coordinate è stato affrontato nei primi del ‘900 da Burali-Forti e Marcolongo (ho un loro libro nell’edizione del 1929, che non ho mai letto) e solo negli ultimi tempi ha trovato piede (ad es. Levi-Civita non l’ha mai presa in considerazione).
Forse si può rispondere sulla falsariga dei vettori (che sono parte dei tensori) dei quali si possono dare tre rappresentazioni equivalenti:
-geometrica (segmenti orientati),
-algebrica (insieme ordinato di numeri),
-assiomatica (spazi lineari),
ma che hanno in comune le due operazioni di addizione e di moltiplicazione per uno scalare.
Mi fermo, essendo le mie conoscenze molto limitate, di più, molto di più, può dire Luca Lussardi (se ha tempo e voglia).
Le due definizioni sono perfettamente equivalenti; la definizione data in coordinate dice che un tensore è solo un gruppo di numeri che cambiano in un modo ben determinato al cambiare del sistema di coordinate. Nella definizione algebrica si vede il tensore come mappa multilineare e si sfrutta la naturale riflessività in dimensione finita per le varie identificazioni. Fissata la base canonica il tensore algebrico è individuato univocamente da coefficienti che si trasformano esattamente secondo le leggi tensoriali di Levi-Civita.
Personalmente preferisco fare tutto in coordinate: il concetto di tensore sta proprio nella legge di trasformazione che deve essere quella se uno vuole l'invarianza di espressioni differenziali con coefficienti tensoriali.
Personalmente preferisco fare tutto in coordinate: il concetto di tensore sta proprio nella legge di trasformazione che deve essere quella se uno vuole l'invarianza di espressioni differenziali con coefficienti tensoriali.
Grazie per il chiarimento. Ho trovato su un articolo scientifico le seguenti tre affermazioni:
1. All scalars are not tensors, although all tensors of rank 0 are scalars.
2. All vectors are not tensors, although all tensors of rank 1 are vectors.
3. All dyads or matrices are not tensors, although all tensors of rank 2 are dyads or
matrices.
IN altri articoli invece i vettori sono stati definiti come tensori di rango 1 il che è in contraddizione con l'affermazione 2.
MI date una mano a capire?
1. All scalars are not tensors, although all tensors of rank 0 are scalars.
2. All vectors are not tensors, although all tensors of rank 1 are vectors.
3. All dyads or matrices are not tensors, although all tensors of rank 2 are dyads or
matrices.
IN altri articoli invece i vettori sono stati definiti come tensori di rango 1 il che è in contraddizione con l'affermazione 2.
MI date una mano a capire?
può essere che nell'altro articolo prenda una definizione più "fisica" di vettore... (che so, una freccetta con un numero)... in tal senso per esempio il campo magnetico non è un vettore nel senso di "tensore di rango 1" così come non lo è un prodotto vettoriale di due vettori come il momento angolare, visto che non si comportano come un vettore per cambiamenti di coordinate (pseudo-vettori)... magari è questo il motivo... boh... ma ascolto volentieri i più esperti 
Cmq esiste anche una terza interpretazione del prodotto tensore, più generale... a me piace quella!... ora per dirla bene dovrei rivedere il tutto... io ho qualche appunto sparso da vecchie lezioni ed un libro (Elementi di geometria analitica, Mauro Nacinovich) che utilizzo solo per consultare quando mi gira(è un libro per matematici!)... La fine della storiella è che da questa definizione si costruisce uno spazio vettoriale a cui quello della seconda definizion è isomorfo...
@Luca:
ps1: ora ho capito perchè odio le coordinate luca e purtroppo non ci so lavorare ! anche il mio omonimo le detestava
PS2: ma ora che ci penso, quel libro di relatività speciale che fine ha fatto?
Cmq esiste anche una terza interpretazione del prodotto tensore, più generale... a me piace quella!... ora per dirla bene dovrei rivedere il tutto... io ho qualche appunto sparso da vecchie lezioni ed un libro (Elementi di geometria analitica, Mauro Nacinovich) che utilizzo solo per consultare quando mi gira(è un libro per matematici!)... La fine della storiella è che da questa definizione si costruisce uno spazio vettoriale a cui quello della seconda definizion è isomorfo...
@Luca:
ps1: ora ho capito perchè odio le coordinate luca e purtroppo non ci so lavorare ! anche il mio omonimo le detestava
PS2: ma ora che ci penso, quel libro di relatività speciale che fine ha fatto?
ll libro sta procedendo bene, siamo a buon punto sia sulla parte matematica sia sulla parte fisica, entro l'estate potrebbe essere pronto per la pubblicazione, speriamo.
Tienici informati...credo che saranno soldi spesi bene.
nessuna altra interpretazione di quanto sopra? o dite che ho azzeccato cosa intendevano con quelle affermazioni?
Sì, Thomas, la tua interpretazione è la via algebrica astratta per introdurre il calcolo tensoriale, e è l'dea che odio personalmente, devi fare un bordello per tensorializzare gli spazi vettoriali, e alla fine non sai più cosa hai fatto....
Evviva scendere in coordinate, sarà meno intrinseco ma almeni tocchi con mano la potenza del calcolo tensoriale "fatto con le dita" e che ti dà tutta l'invarianza che vuoi semplicemente calcolando.
Evviva scendere in coordinate, sarà meno intrinseco ma almeni tocchi con mano la potenza del calcolo tensoriale "fatto con le dita" e che ti dà tutta l'invarianza che vuoi semplicemente calcolando.
Ho trovato un'altra definizione che considera il prodotto tensoriale come oggetto universale di una categoria. La definizione l'ho presa da "Serge Lang, Algebra". Ma di che categoria si tratta? Potreste spiegarmi che cosa è un oggetto universale di una categoria?
Ho trovato un'altra definizione che considera il prodotto tensoriale come oggetto universale di una categoria. La definizione l'ho presa da "Serge Lang, Algebra". Ma di che categoria si tratta? Potreste spiegarmi che cosa è un oggetto universale di una categoria?
Probabilmente sei nella categora degli spazi vettoriali e c'è sotto qualche funtore strano.... non sono esperto di Teoria delle categorie, ma stiamo arrivando al delirio mi sa, se vuoi veramente capire il vero calcolo tensoriale ti consiglio di scendere umilmente in coordinate come faceva Levi-Civita.
Mi sa che seguirò il tuo consiglio anche se è affascinante ritrovare approcci così diversi per la definizione di uno stesso concetto matematico. E' anche questo il bello della matematica, no?
Certo, è infatti bellissimo, io con il calcolo tensoriale ho però una lunga storia "personale", per questo motivo insisto su quello che ti dicevo. Cominciai anche io a studiarlo sui testi moderni, salta di qua e salta di là, non lo capivo mai bene, fino a che mi sono ridotto a leggere direttamente il libro originale di Levi-Civita, e allora lì finalmente capisci veramente cosa sia il calcolo tensoriale.
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