Tensori, passo passo
Buongiorno a tutti,
cercando in rete qualche sito che spiegasse i tensori (o almeno i concetti di base) in maniera semplice e chiara ho trovato questa pagina:
http://www.tecnologica.altervista.org/php5/index.php/Tensore
Ora mi viene un dubbio:
nel paragrafo dedicato ai TENSORI DOPPI si esprime $\bar v_n$ in forma matriciale...ma è giusta la formula ???
Non dovrebbe essere ??
$\bar v_n = ((v_11,v_12),(v_21,v_22)) * ((\alpha_(n1)),(\alpha_(n2))) = ((v_11*\alpha_(n1) + v_12*\alpha_(n2)),(v_21*\alpha_(n1) + v_22*\alpha_(n2)))$
La cosa "strana" è che anche nel paragrafo seguente si ripresenta lo stesso ordine di scrittura degli elementi...e mi sembra strano che abbiano sbagliato 2 volte
--> ho sbagliato io ??? 
Grazie in anticipo.
cercando in rete qualche sito che spiegasse i tensori (o almeno i concetti di base) in maniera semplice e chiara ho trovato questa pagina:
http://www.tecnologica.altervista.org/php5/index.php/Tensore
Ora mi viene un dubbio:
nel paragrafo dedicato ai TENSORI DOPPI si esprime $\bar v_n$ in forma matriciale...ma è giusta la formula ???
Non dovrebbe essere ??
$\bar v_n = ((v_11,v_12),(v_21,v_22)) * ((\alpha_(n1)),(\alpha_(n2))) = ((v_11*\alpha_(n1) + v_12*\alpha_(n2)),(v_21*\alpha_(n1) + v_22*\alpha_(n2)))$
La cosa "strana" è che anche nel paragrafo seguente si ripresenta lo stesso ordine di scrittura degli elementi...e mi sembra strano che abbiano sbagliato 2 volte
--> ho sbagliato io ??? Grazie in anticipo.
Risposte
E' giusto, sta usando la definizione di V che ha dato sopra. Non vedo il problema 
Spetta un attimo. Sulla pagina del link c'è scritto :
$\alpha_(n1)$ è il coseno direttore che si riferisce all'asse delle ascisse, mentre $\alpha_(n2)$ a quello delle ordinate.
Nella somma dei prodotti compare
$v_11*\alpha_(n1)$ --> si riferiscono entrambi all'asse x
$v_22*\alpha_(n2)$ --> si riferiscono entrambi all'asse y
$v_21*\alpha_(n2)$ --> $v_21$ è parallelo all'asse x mentre $\alpha_(n2)$ si riferisce all'asse y
idem per $v_12*\alpha_(n1)$ --> $v_12$ è parallelo all'asse y mentre $\alpha_(n1)$ si riferisce all'asse x
Sto prendendo una sola paurosa ???
$\alpha_(n1)$ è il coseno direttore che si riferisce all'asse delle ascisse, mentre $\alpha_(n2)$ a quello delle ordinate.
Nella somma dei prodotti compare
$v_11*\alpha_(n1)$ --> si riferiscono entrambi all'asse x
$v_22*\alpha_(n2)$ --> si riferiscono entrambi all'asse y
$v_21*\alpha_(n2)$ --> $v_21$ è parallelo all'asse x mentre $\alpha_(n2)$ si riferisce all'asse y
idem per $v_12*\alpha_(n1)$ --> $v_12$ è parallelo all'asse y mentre $\alpha_(n1)$ si riferisce all'asse x
Sto prendendo una sola paurosa ???
Il tensore di rango 2 che considera è
$$ \begin{bmatrix} v_{11} & v_{21} \\ v_{12} & v_{22} \end{bmatrix}$$, quindi è giusto come è scritto nel link il prodotto righe per colonne.
Se tu identifichi $1$ con la direzione $x$ e $2$ con $y$, allora i coefficienti $v_{i,j}$ dicono viene trasformato un generico vettore $a$, il significato delle componenti diventa
$v_{x x}$ azione di $a_x$ sulla direzione $x$
$v_{xy}$ azione di $a_x$ sulla direzione $y$
$v_{yx}$ azione di $a_y$ sulla direzione $x$
$v_{yy}$ azione di $a_y$ sulla direzione $y$
Da un punto di vista fisico puoi pensare di avere un quadato che non è omogeneo e isotropo, quindi se applico una forza su lato parallelo perpendicolare a $x$, $a=(f,0)$, ottengo una risposta non solo nella direzione $x$, ma anche nella direzione $y$, la forza risultante è quindi nella direzione $a'=(v_{x x}f,v_{xy} f)$, rappresenta una forza perpendicolare alla faccia $x$ e tangente alla faccia $y$
$$ \begin{bmatrix} v_{11} & v_{21} \\ v_{12} & v_{22} \end{bmatrix}$$, quindi è giusto come è scritto nel link il prodotto righe per colonne.
Se tu identifichi $1$ con la direzione $x$ e $2$ con $y$, allora i coefficienti $v_{i,j}$ dicono viene trasformato un generico vettore $a$, il significato delle componenti diventa
$v_{x x}$ azione di $a_x$ sulla direzione $x$
$v_{xy}$ azione di $a_x$ sulla direzione $y$
$v_{yx}$ azione di $a_y$ sulla direzione $x$
$v_{yy}$ azione di $a_y$ sulla direzione $y$
Da un punto di vista fisico puoi pensare di avere un quadato che non è omogeneo e isotropo, quindi se applico una forza su lato parallelo perpendicolare a $x$, $a=(f,0)$, ottengo una risposta non solo nella direzione $x$, ma anche nella direzione $y$, la forza risultante è quindi nella direzione $a'=(v_{x x}f,v_{xy} f)$, rappresenta una forza perpendicolare alla faccia $x$ e tangente alla faccia $y$
per approfondire i vettori e i tensori cartesiani puoi cercare o comprare gli appunti di Scienza delle Costruzioni a cura
di G. Oliveto - A. Marinetti - M. Falco
di G. Oliveto - A. Marinetti - M. Falco
Forse ho capito:
l'operazione che ho scritto io avrebbe senso se fosse
$\bar v_n = ((v_11,v_12),(v_21,v_22)) * ((e_1),(e_2))$
che mi restituisce le componenti di $\bar v_n$ rispetto agli assi $x_1$ e $x_2$, dove $e_1$ e $e_2$ sono i versori degli assi.
Mentre l'operazione che fa nel link
$\bar v_n = ((v_11,v_21),(v_12,v_22)) * ((\alpha_(n1)),(\alpha_(n2)))$
sono le componenti rispetto alla direzione $n$.
E in particolare le componenti $v_21*\alpha_(n2)$ e $v_12*\alpha_(n1)$ che ho confuso nel post precedente sono le tensioni tangenziali del Tensore delle tensioni di Cauchy in 2D (ovviamente quest'ultimo lo si usa in 3D --> la castroneria l'ho scritta giusto per capire il senso).
Torna ??
l'operazione che ho scritto io avrebbe senso se fosse
$\bar v_n = ((v_11,v_12),(v_21,v_22)) * ((e_1),(e_2))$
che mi restituisce le componenti di $\bar v_n$ rispetto agli assi $x_1$ e $x_2$, dove $e_1$ e $e_2$ sono i versori degli assi.
Mentre l'operazione che fa nel link
$\bar v_n = ((v_11,v_21),(v_12,v_22)) * ((\alpha_(n1)),(\alpha_(n2)))$
sono le componenti rispetto alla direzione $n$.
E in particolare le componenti $v_21*\alpha_(n2)$ e $v_12*\alpha_(n1)$ che ho confuso nel post precedente sono le tensioni tangenziali del Tensore delle tensioni di Cauchy in 2D (ovviamente quest'ultimo lo si usa in 3D --> la castroneria l'ho scritta giusto per capire il senso).
Torna ??
La seconda parte si, la prima non ho ben capito cosa intendi per componeni di $\bar{\nu}$, soprattutto per hai usato lo stesso nome per due cose diverse, forse intendi $\nu$ e $\bar{\nu}$ sono l'una la trasposta dell'altra, ma non so quale sia il significato che vuoi dare ad una o all'altra
Si hai ragione ho scritto $\bar v_n$ due volte.
Intendenvo semplicemente scrivere le componenti dei vettori $\bar v_1$ e $\bar v_2$ (quindi in ottica di tensioni di Cauchy sarebbero i vettori tensione) lungo gli assi, cioè
$\bar v_1 = v_11*\bar e_1 + v_12*\bar e_2$
e
$\bar v_2 = v_21*\bar e_1 + v_22*\bar e_2$
Intendenvo semplicemente scrivere le componenti dei vettori $\bar v_1$ e $\bar v_2$ (quindi in ottica di tensioni di Cauchy sarebbero i vettori tensione) lungo gli assi, cioè
$\bar v_1 = v_11*\bar e_1 + v_12*\bar e_2$
e
$\bar v_2 = v_21*\bar e_1 + v_22*\bar e_2$
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