[Tensori] Definizione di covettore
Sto cercando di comprendere i fondamenti del calcolo tensoriale e a questo scopo sto consultando
Quick Introduction to Tensor Analysis di R. Sharipov
e
Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers di M. Itskov (consigliato da ciampax che ringrazio).
Nel primo pdf si parla di vettori e covettori descrivendone la loro definizione operativa (che poi credo sia la definizione classica di vettore/tensore):
Prendiamo due basi [tex]\mathcal{E}=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}, \tilde{\mathcal{E}}=\{\tilde{\mathbf{e}}_1, \tilde{\mathbf{e}}_2, \tilde{\mathbf{e}}_3\}[/tex] dello spazio [tex]\mathbb{E}^3[/tex] (delle traslazioni dello spazio Euclideo), e siano [tex][S^i_j], [T^i_j][/tex] le matrici di cambiamento di coordinate:
[tex]$\mathbf{e}_i=\sum_jT^j_i \tilde{\mathbf{e}}_j, \quad \mathbf{e}_j=\sum_i S^i_j \mathbf{e}_i.[/tex]
Un vettore [tex]\mathbf{x}[/tex] è un ente descritto da componenti dipendenti dalla scelta di una base secondo la relazione:
[tex]$\tilde{x}^i=\sum_j T^i_j x^j[/tex]. ([size=75]N.B.: Le componenti di un vettore vanno in alto: [tex]\tilde{x}^i, x^j[/tex][/size])
E fin qui, nulla quaestio. Ma veniamo al covettore: dualmente al vettore, un covettore [tex]\mathbf{a}[/tex] è descritto da componenti indicizzate in basso e dalla formula di cambiamento di base
[tex]$a_j=\sum_i T^i_j \tilde{a}_i[/tex].
Ovvero, la stessa matrice [tex]T[/tex] che porta le componenti del vettore [tex]\mathbf{x}[/tex] dalla base [tex]\mathcal{E}[/tex] alla base [tex]\tilde{\mathcal{E}}[/tex], con il covettore [tex]a[/tex] fa il lavoro inverso e, essenzialmente, non agisce più per moltiplicazione a sinistra di un vettore colonna ma a destra di un vettore riga.
Come conciliare tutto questo con il concetto di covettore a cui sono abituato, ovvero una forma lineare su [tex]\mathbb{E}^3[/tex]? Sicuramente qui interviene il concetto di base duale: la base [tex]\mathcal{E}^\star=\{\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2, \mathbf{e}^3\}[/tex] duale di [tex]\mathcal{E}[/tex] è quell'insieme di forme lineari caratterizzate da
[tex]$\langle \mathbf{e}^i, \mathbf{e}_j \rangle= \delta^i_j[/tex]. [size=75](*)[/size]
Ma come, precisamente? Non sto riuscendo a fare quadrare i miei conti.
_____________
(*) oppure, identificando vettori e forme lineari, caratterizzata da
[tex]$\mathbf{e}^i\cdot \mathbf{e}_j=\delta^i_j[/tex].
Questo approccio si trova sul testo di Itskov.
Quick Introduction to Tensor Analysis di R. Sharipov
e
Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers di M. Itskov (consigliato da ciampax che ringrazio).
Nel primo pdf si parla di vettori e covettori descrivendone la loro definizione operativa (che poi credo sia la definizione classica di vettore/tensore):
Prendiamo due basi [tex]\mathcal{E}=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}, \tilde{\mathcal{E}}=\{\tilde{\mathbf{e}}_1, \tilde{\mathbf{e}}_2, \tilde{\mathbf{e}}_3\}[/tex] dello spazio [tex]\mathbb{E}^3[/tex] (delle traslazioni dello spazio Euclideo), e siano [tex][S^i_j], [T^i_j][/tex] le matrici di cambiamento di coordinate:
[tex]$\mathbf{e}_i=\sum_jT^j_i \tilde{\mathbf{e}}_j, \quad \mathbf{e}_j=\sum_i S^i_j \mathbf{e}_i.[/tex]
Un vettore [tex]\mathbf{x}[/tex] è un ente descritto da componenti dipendenti dalla scelta di una base secondo la relazione:
[tex]$\tilde{x}^i=\sum_j T^i_j x^j[/tex]. ([size=75]N.B.: Le componenti di un vettore vanno in alto: [tex]\tilde{x}^i, x^j[/tex][/size])
E fin qui, nulla quaestio. Ma veniamo al covettore: dualmente al vettore, un covettore [tex]\mathbf{a}[/tex] è descritto da componenti indicizzate in basso e dalla formula di cambiamento di base
[tex]$a_j=\sum_i T^i_j \tilde{a}_i[/tex].
Ovvero, la stessa matrice [tex]T[/tex] che porta le componenti del vettore [tex]\mathbf{x}[/tex] dalla base [tex]\mathcal{E}[/tex] alla base [tex]\tilde{\mathcal{E}}[/tex], con il covettore [tex]a[/tex] fa il lavoro inverso e, essenzialmente, non agisce più per moltiplicazione a sinistra di un vettore colonna ma a destra di un vettore riga.
Come conciliare tutto questo con il concetto di covettore a cui sono abituato, ovvero una forma lineare su [tex]\mathbb{E}^3[/tex]? Sicuramente qui interviene il concetto di base duale: la base [tex]\mathcal{E}^\star=\{\mathbf{e}^1, \mathbf{e}^2, \mathbf{e}^3\}[/tex] duale di [tex]\mathcal{E}[/tex] è quell'insieme di forme lineari caratterizzate da
[tex]$\langle \mathbf{e}^i, \mathbf{e}_j \rangle= \delta^i_j[/tex]. [size=75](*)[/size]
Ma come, precisamente? Non sto riuscendo a fare quadrare i miei conti.
_____________
(*) oppure, identificando vettori e forme lineari, caratterizzata da
[tex]$\mathbf{e}^i\cdot \mathbf{e}_j=\delta^i_j[/tex].
Questo approccio si trova sul testo di Itskov.
Risposte
Ah ecco! Quindi la mia scrittura sarebbe "corretta" con il simbolo di differenziale, quella del professore invece è corretta così com'è, col simbolo di gradiente. Ok, grazie david_e!
E' interessante questa teoria però. Sto intravvedendo le risposte ad un sacco di domande che mi porto dietro dai tempi dei primi corsi di algebra lineare e di calcolo differenziale.
E' interessante questa teoria però. Sto intravvedendo le risposte ad un sacco di domande che mi porto dietro dai tempi dei primi corsi di algebra lineare e di calcolo differenziale.
Pardon... 
Non so per quale motivo avevo inteso si fosse su campo scalare!
Non so per quale motivo avevo inteso si fosse su campo scalare!
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