Tensore metrico e gradiente in coordinate sferiche
Buon giorno a tutti 
Sono alle prime armi con argomenti avanzati di geometria differenziale, e quindi vengo a chiedere aiuto anche su un facile esercizio
Devo calcolare le componenti del gradiente in coordinate sferiche, usando il tensore metrico.
Inizio richiamando il cambio di variabili che mi dà le coordinate sferiche
\[
\begin{cases}
x = \rho \cos \varphi \sin \psi \\
y = \rho \sin \varphi \sin \psi \\
z = \rho \cos \psi
\end{cases}.
\]
Ora voglio procedere usando la formula
\[
(\nabla f)^i = g^{ij} \frac{\partial f }{\partial{x^j}}.
\]
Comincio cercando di calcolare le componenti del tensore metrico:
\[
g_{ij} = <\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}>
\]
da cui, ad esempio,
\[
g_{11} = g_{\rho\rho} = <\frac{\partial}{\partial \rho},\frac{\partial}{\partial \rho}>.
\]
Ora iniziano già i guai, perché non sono sicuro di come calcolare questo prodotto scalare; il libro suggerisce di usare la chain rule e di tirare in ballo le coordinate cartesiane, quindi io farei
\[
\frac{\partial}{\partial \rho} = \frac{\partial x}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial z}
\]
e quindi
\[
g_{\rho\rho} = <\frac{\partial}{\partial \rho},\frac{\partial}{\partial \rho}> = <\frac{\partial x}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial x}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial z}>
\]
e quindi, usando la linearità del prodotto scalare ed il fatto che il tensore metrico per le coordinate cartesiane è facile, arriverei a
\[
g_{\rho \rho} = \left(\frac{\partial x}{\partial \rho}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \rho}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial \rho}\right)^2
\]
andando a prendere ora le derivate parziali dal sistema che ho scritto ad inizio post.
Ho provato a fare un po' di conti in questa direzione ma non mi sembra che venga quello che dovrebbe.
Qualcuno ha commenti o suggerimenti?
Edit: ho rifatto i conti e mi sono ricreduto. Il tensore metrico mi viene
\[
G =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \rho^2 \sin (\psi)^2 & 0 \\
0 & 0 & \rho^2
\end{bmatrix}
\]
che è quasi giusto, nel senso che mi aspettavo che venissero scambiati gli elementi sulle righe 2 e 3, ma questo è un problema minore.
Visto che \(G\) è così bella, mi regala la sua inversa che non scrivo perché si vede ad occhio.
Ora posso applicare la formula per la componente ed arrivare al risultato giusto.
Vi risparmio i conti, ma lascio il messaggio anche se ho fatto più un monologo che altro, magari servirà a qualcun altro!
Sono alle prime armi con argomenti avanzati di geometria differenziale, e quindi vengo a chiedere aiuto anche su un facile esercizio
Devo calcolare le componenti del gradiente in coordinate sferiche, usando il tensore metrico.
Inizio richiamando il cambio di variabili che mi dà le coordinate sferiche
\[
\begin{cases}
x = \rho \cos \varphi \sin \psi \\
y = \rho \sin \varphi \sin \psi \\
z = \rho \cos \psi
\end{cases}.
\]
Ora voglio procedere usando la formula
\[
(\nabla f)^i = g^{ij} \frac{\partial f }{\partial{x^j}}.
\]
Comincio cercando di calcolare le componenti del tensore metrico:
\[
g_{ij} = <\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}>
\]
da cui, ad esempio,
\[
g_{11} = g_{\rho\rho} = <\frac{\partial}{\partial \rho},\frac{\partial}{\partial \rho}>.
\]
Ora iniziano già i guai, perché non sono sicuro di come calcolare questo prodotto scalare; il libro suggerisce di usare la chain rule e di tirare in ballo le coordinate cartesiane, quindi io farei
\[
\frac{\partial}{\partial \rho} = \frac{\partial x}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial z}
\]
e quindi
\[
g_{\rho\rho} = <\frac{\partial}{\partial \rho},\frac{\partial}{\partial \rho}> = <\frac{\partial x}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial x}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \rho} \frac{\partial}{\partial z}>
\]
e quindi, usando la linearità del prodotto scalare ed il fatto che il tensore metrico per le coordinate cartesiane è facile, arriverei a
\[
g_{\rho \rho} = \left(\frac{\partial x}{\partial \rho}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \rho}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial \rho}\right)^2
\]
andando a prendere ora le derivate parziali dal sistema che ho scritto ad inizio post.
Ho provato a fare un po' di conti in questa direzione ma non mi sembra che venga quello che dovrebbe.
Qualcuno ha commenti o suggerimenti?
Edit: ho rifatto i conti e mi sono ricreduto. Il tensore metrico mi viene
\[
G =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \rho^2 \sin (\psi)^2 & 0 \\
0 & 0 & \rho^2
\end{bmatrix}
\]
che è quasi giusto, nel senso che mi aspettavo che venissero scambiati gli elementi sulle righe 2 e 3, ma questo è un problema minore.
Visto che \(G\) è così bella, mi regala la sua inversa che non scrivo perché si vede ad occhio.
Ora posso applicare la formula per la componente ed arrivare al risultato giusto.
Vi risparmio i conti, ma lascio il messaggio anche se ho fatto più un monologo che altro, magari servirà a qualcun altro!
Risposte
E' giusto, è giusto. Se vuoi un calcolo più "tensoriale"...
Intanto il tensore fondamentale è doppiamente covariante (come sicuramente avrai dimostrato o intuito) dunque
$\bar{g_{ij}}=\frac{\partial x^k }{\partial \bar{x^i}}\cdot\frac{\partial x^l }{\partial \bar{x^j}}\cdot{g_{kl}}$
Poi $g_{kl}$ = 1 se k=l e vale 0 se k!=l
Quindi (dopo ovviamente esserti trovato $\frac{\partial x^k }{\partial \bar{x^i}}$ ossia la matrice del cambio base) per sviluppare la sommatoria ti basta considerare solo tre termini (quelli in cui k e l sono entrambi uguali a 1,2,3).
Per calcolarti il nuovo tensore fondamentale puoi fare dunque (come regoletta pratica) così:
vuoi calcolare ad esempio $\bar{g_{13}}$? Prendi in considerazione la prima e la terza colonna del cambio base e sommi i prodotti dei termini che sono allineati: a_11*a_13+a_21*a_23+a_31*a_33
Intanto il tensore fondamentale è doppiamente covariante (come sicuramente avrai dimostrato o intuito) dunque
$\bar{g_{ij}}=\frac{\partial x^k }{\partial \bar{x^i}}\cdot\frac{\partial x^l }{\partial \bar{x^j}}\cdot{g_{kl}}$
Poi $g_{kl}$ = 1 se k=l e vale 0 se k!=l
Quindi (dopo ovviamente esserti trovato $\frac{\partial x^k }{\partial \bar{x^i}}$ ossia la matrice del cambio base) per sviluppare la sommatoria ti basta considerare solo tre termini (quelli in cui k e l sono entrambi uguali a 1,2,3).
Per calcolarti il nuovo tensore fondamentale puoi fare dunque (come regoletta pratica) così:
vuoi calcolare ad esempio $\bar{g_{13}}$? Prendi in considerazione la prima e la terza colonna del cambio base e sommi i prodotti dei termini che sono allineati: a_11*a_13+a_21*a_23+a_31*a_33
"Raptorista":
Vi risparmio i conti, ma lascio il messaggio anche se ho fatto più un monologo che altro, magari servirà a qualcun altro!
Ti ringrazio, a distanza di qualche anno: è stato proprio così.
Ahahahah epic win! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo