Tensore metrico
Ciao, sono alle primissime armi con i tensori e volevo delle spiegazioni. Ho trovato solo un esempio concreto.
Ho la metrica $g_(munu) = [(0,1),(1,1)]$
Nella base standard di uno spazio di dimensione due ho il tensore $T(a,b)=2*a^1*b^2$ dove $a^mu$ e $b^mu$ sono le componenti di $a$ e $b$.
1) Devo trovare $T_(munu)$, $T^(munu)$, $T_(mu)^(nu)$ e $T^(mu)_nu
2) Poi si dice di cambiare base: $e'_1 = e_1 + 2*e_2$ e $e'_2 = e_1$
Mi si chiede ora di trovare le matrici di transformazione.
Però visto che sono alle prime armi non capisco bene il significato della metrica connessa al tensore. E poi, visto che il tensore alla fine mi ridà una scalare perché per esempio $T_(munu)$ sono da considerarsi matrici e non numeri???
Se capisco bene questo esempio concreto, visto che non ce ne sono in giro molti altri, almeno faccio un passo avanti.
Grazie.
Ho la metrica $g_(munu) = [(0,1),(1,1)]$
Nella base standard di uno spazio di dimensione due ho il tensore $T(a,b)=2*a^1*b^2$ dove $a^mu$ e $b^mu$ sono le componenti di $a$ e $b$.
1) Devo trovare $T_(munu)$, $T^(munu)$, $T_(mu)^(nu)$ e $T^(mu)_nu
2) Poi si dice di cambiare base: $e'_1 = e_1 + 2*e_2$ e $e'_2 = e_1$
Mi si chiede ora di trovare le matrici di transformazione.
Però visto che sono alle prime armi non capisco bene il significato della metrica connessa al tensore. E poi, visto che il tensore alla fine mi ridà una scalare perché per esempio $T_(munu)$ sono da considerarsi matrici e non numeri???
Se capisco bene questo esempio concreto, visto che non ce ne sono in giro molti altri, almeno faccio un passo avanti.
Grazie.
Risposte
ti dico solo una cosa...
$T^(\mu\nu)$ non è un tensore, di per sè, ma sono le componenti di un tensore, che evidentemente puoi mettere in una matrice quadrata per tua comodità (molte relazioni algebriche tra tensori si trasformeranno nel prodotto di queste matrici). Nel tuo caso il tensore è un elemento di $V^* \otimes V^*$che chiamo $k$ e vale:
$k=\sum_{\mu,\nu} T_(\mu\nu) e^\mu \otimes e^\nu$
queste sono le relazioni che legano quei numeri al tensore, essendo $e^\mu \otimes e^\nu$ gli elementi della base di $V^* \otimes V^*$ tali che:
$e^\mu \otimes e^\nu (a_i,b_j)=a^\mu*b^\nu$
il tensore metrico $g^(\mu\nu)=g_(\mu\nu)$ praticamente ti serve per alzare ed abbassare gli indici con regole del tipo:
$T^(\mu)_\nu=g_(\nu\alpha)T^(\mu\alpha)$
(sommatoria su indici ripetuti sottointesa)
e questo serve perchè cambiando base i numeri $T^\mu\nu$ hanno regole di trasformazione particolari... un matematico parlerebbe di isomorfismi naturali di $V$ col suo duale indotti dal prodotto scalare e ci ragionerebbe sopra... io non ne sono capace e quindi lascio la palla a chi ha le capacità per spiegare meglio questi passaggi (che comunque hanno anche un senso puramente algebrico)...
spero di aver chiarito qualcosa... ciao!
$T^(\mu\nu)$ non è un tensore, di per sè, ma sono le componenti di un tensore, che evidentemente puoi mettere in una matrice quadrata per tua comodità (molte relazioni algebriche tra tensori si trasformeranno nel prodotto di queste matrici). Nel tuo caso il tensore è un elemento di $V^* \otimes V^*$che chiamo $k$ e vale:
$k=\sum_{\mu,\nu} T_(\mu\nu) e^\mu \otimes e^\nu$
queste sono le relazioni che legano quei numeri al tensore, essendo $e^\mu \otimes e^\nu$ gli elementi della base di $V^* \otimes V^*$ tali che:
$e^\mu \otimes e^\nu (a_i,b_j)=a^\mu*b^\nu$
il tensore metrico $g^(\mu\nu)=g_(\mu\nu)$ praticamente ti serve per alzare ed abbassare gli indici con regole del tipo:
$T^(\mu)_\nu=g_(\nu\alpha)T^(\mu\alpha)$
(sommatoria su indici ripetuti sottointesa)
e questo serve perchè cambiando base i numeri $T^\mu\nu$ hanno regole di trasformazione particolari... un matematico parlerebbe di isomorfismi naturali di $V$ col suo duale indotti dal prodotto scalare e ci ragionerebbe sopra... io non ne sono capace e quindi lascio la palla a chi ha le capacità per spiegare meglio questi passaggi (che comunque hanno anche un senso puramente algebrico)...
spero di aver chiarito qualcosa... ciao!
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