Tensore di Ricci, di Riemann e curvatura scalare.

[Spremiagrumi1]

Salve, non riesco a capire alcuni passaggi che legano i tre tensori del titolo (uno di rango 0)
Riporto i passaggi del libro, spero possiate aiutarmi

Le proprietà di simmetria del tensore di Riemann sono:

$R_(abcd)=-R_(bacd)=-R_(abdc)=R_(cdba)$

Se contraggo questo tensore ottengo il tensore di Ricci:

$R_(bd)=g^(ac)R_(abcd)$ dive $g^(ac)$ è il tensore metrico.

Se contraggo ancora ottengo uno scalare chiamato curvatura scalare.

$R=g^(bd)R_(bd)$

Ora se la dimensionalità dello spazio è 2, il tensore di Riemann ha una sola componente indipendente (per esempio $R_(1212)$), le componenti del tensore di Ricci sono

$R_(11)=g^(22)R_(1212)$
$R_(12)=-g^(12)R_(1212)$
$R_(21)=-g^(12)R_(1212)$
$R_(22)=g^(11)R_(1212)$

e per la curvatura scalare si trova

$R=g^(11)R_(11)+g^(12)R_(12)+g^(21)R_(21)+g^(22)R_(22)$
esprimendo le componenti del tensore di Ricci con le componenti del tensore di Riemann ottengo

$R=2(g^(11)g^(22)-g^(12)g^(21))R_(1212)$

Fin qui tutto chiaro, poi il libro scrive ancora:

$R=2(g^(11)g^(22)-g^(12)g^(21))R_(1212)=2detg^(-1)R_(1212)=2/gR_(1212)$

Non capisco perché l'espressione $2(g^(11)g^(22)-g^(12)g^(21))R_(1212)$ sia uguale al determinante della matrice inversa $g$, non dovrebbe essere semplicemente il determinante della matrice associata al tensore metrico?

Ho consultato un altro testo e questo giunge all'espressione:

$R=(2)R_(1212)/((g^(11)g^(22)-g^(12)g^(21))$

non riporta i passaggi dicendo che sono "facili"

Grazie dell'aiuto

[j18eos]

Per quanto ricordi, le definizioni sono corrette; ma quel risultato è ovviamente sbagliato: mi sbaglio anch'io?

[Spremiagrumi1]

"j18eos":Per quanto ricordi, le definizioni sono corrette; ma quel risultato è ovviamente sbagliato: mi sbaglio anch'io?

Purtroppo ho paura di si...

Poche pagine prima, nel libro da dove ho preso la formula $ R=(2)R_(1212)/((g^(11)g^(22)-g^(12)g^(21)) $ leggo

La formula di trasformazione del tensore metrico è:

$g^(ik)=(deltax^i)/(deltax^('l))(deltax^k)/(deltax^('m))g^(lm(0))$

dove $g^(lm(0))=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) ) $

Eguagliamo i determinanti delle grandezze che si trovano in ambedue i membri. Il determinante del tensore inverso è $|g^(ik)|=1/g$ mentre il determinante di $|g^(lm(0))|=-1$ Il determinante delle espressioni con le derivate parziali è il jacobiano quindi abbiamo $1/g=-J^2$ per cui $J=1/sqrt(-g)$

Qui parla di tensore inverso ma non capisco cosa intenda e comunque scrive $|g^(ik)|=1/g$, che può anche starci (è così per definizione, ben venga). Ma questo non risolve il problema, come fa ad ottenere questo $ R(2)R_(1212)/((g^(11)g^(22)-g^(12)g^(21)) $? I passaggi mi danno $ R=2(g^(11)g^(22)-g^(12)g^(21))R_(1212) $ (che è quello che presenta il primo libro ma, sempre in questo libro $|g^(ik)|=g$). Quindi commetto proprio un errore e non riesco a venirne a capo. Forse è solo una sciocchezza.

Anche su wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_curvature trova la stessa formula nella sezione "surfaces"
Spero di essere stato chiaro, dato che sto usando il materiale da due libri diversi posso aver presentato il problema in maniera un po' confusa...
Hai qualche idea j18eos?

[dissonance]

Il tensore metrico è $g_{ab}$. Qui invece abbiamo $g^{ab}$, che è definito da questa equazione:
\[
g^{ac}g_{cb}=\delta^a{}_b.\]

Perciò la matrice associata a $g^{\alpha\beta}$ è esattamente la matrice inversa di $g_{\alpha\beta}$.

[Spremiagrumi1]

Certo, è proprio come dici. Non ci avevo nemmeno pensato a guardare gli indici. Grazie del chiarimento