Tensore
cos'è in modo semplice un tensore?
il mio professore di aerodinamica l'ha introdotto molto brevemente ed è passato subito a parlare del tensore degli sforzi.
mi piacerebbe capire in un modo matematico-geometrico corretto cos'è un tensore:
a quanto ho capito un tensore può essere vistocom e un vettore a componenti vettoriali: immaginarlo è un po' difficile, ma detto in questo modo posso pensare che sia una sorta di insieme di 4 vettori interconnessi in qualche modo tra loro.
leggendo su internet a proposito del tensore degli sforzi (wiki in inglese se non erro) ho letto che le 9 componenti di quest'ultimo sono 3 dovute allo sforzo normale e 6 a quello tangenziale. La cosa avrebbe molto senso in quanto tutti gli sforzi possibili su un corpo sarebbero determinati insieme alla direzione di quest'ultimo, ma purtroppo in questo modo avrei 3 vettori e non 4! a complicarmi ancora di più le idee c'è stata la spiegazione del professore il quale mi dice che il tensore degli sforzi ha due "direzioni" una per la forza l'altra per la normale alla superficie.
come posso immaginare un tensore? dal punto di vista matematico non è nulla di difficile, si tratta semplicemente di una matrice, ma dal punto di vista geometrico-fisico penso di avere le idee abbastanza confuse! qualcuno sa darmi qualche suggerimento?
il mio professore di aerodinamica l'ha introdotto molto brevemente ed è passato subito a parlare del tensore degli sforzi.
mi piacerebbe capire in un modo matematico-geometrico corretto cos'è un tensore:
a quanto ho capito un tensore può essere vistocom e un vettore a componenti vettoriali: immaginarlo è un po' difficile, ma detto in questo modo posso pensare che sia una sorta di insieme di 4 vettori interconnessi in qualche modo tra loro.
leggendo su internet a proposito del tensore degli sforzi (wiki in inglese se non erro) ho letto che le 9 componenti di quest'ultimo sono 3 dovute allo sforzo normale e 6 a quello tangenziale. La cosa avrebbe molto senso in quanto tutti gli sforzi possibili su un corpo sarebbero determinati insieme alla direzione di quest'ultimo, ma purtroppo in questo modo avrei 3 vettori e non 4! a complicarmi ancora di più le idee c'è stata la spiegazione del professore il quale mi dice che il tensore degli sforzi ha due "direzioni" una per la forza l'altra per la normale alla superficie.
come posso immaginare un tensore? dal punto di vista matematico non è nulla di difficile, si tratta semplicemente di una matrice, ma dal punto di vista geometrico-fisico penso di avere le idee abbastanza confuse! qualcuno sa darmi qualche suggerimento?
Risposte
Mi inserisco in questa discussione perché ho anch'io alcune domande.
Posto la prima: i tensori che usano gli ingegneri nelle loro discipline tecniche sono gli stessi tensori che si usano nella teoria della relatività?
Posto la prima: i tensori che usano gli ingegneri nelle loro discipline tecniche sono gli stessi tensori che si usano nella teoria della relatività?
Una visualizzazione geometrica non è affatto facile.
La definizione di tensore che mi è stata in Teoria della relatività è quella di un oggetto le cui componenti si trasformano per rotazioni del sistema di riferimento come prodotti di coordinate di vettori. Per sistema di riferimento non è da intendersi necessariamente un sistema di tipo spaziale, anche se è quello più facile da visualizzare. Secondo questa definizione non tutte le matrici sono tensori, così come non tutti i "vettori riga" o "vettori colonna" sono vettori, ma è decisivo cosa le coordinate rappresentano fisicamente. Per esempio $(p, V, T)$, ovvero pressione, volume e temperatura di un gas perfetto non definiscono un vettore, ma uno scalare, essendo le tre componenti scalari, cioè invarianti per rotazione.
Il prototipo di vettore è lo spostamento, cioè un oggetto le cui componenti (proiezioni) sono lunghezze.
Un tensore a 2 indici è qualcosa che ha un numero di componenti pari al quadrato della dimensione, e le componenti non sono lunghezze ma aree, che in qualche modo sono determinate da 2 soli vettori.
A 3 indici le componenti sono volumi in qualche modo determinati da 3 vettori, ma non penso sia molto utile una visualizzazione geometrica di questo tipo.
I tensori sono gli stessi in qualsiasi disciplina, solo che magari l'enfasi è più centrata su certe proprietà piuttosto che su altre, ma sono sempre la stessa cosa.
La definizione di tensore che mi è stata in Teoria della relatività è quella di un oggetto le cui componenti si trasformano per rotazioni del sistema di riferimento come prodotti di coordinate di vettori. Per sistema di riferimento non è da intendersi necessariamente un sistema di tipo spaziale, anche se è quello più facile da visualizzare. Secondo questa definizione non tutte le matrici sono tensori, così come non tutti i "vettori riga" o "vettori colonna" sono vettori, ma è decisivo cosa le coordinate rappresentano fisicamente. Per esempio $(p, V, T)$, ovvero pressione, volume e temperatura di un gas perfetto non definiscono un vettore, ma uno scalare, essendo le tre componenti scalari, cioè invarianti per rotazione.
Il prototipo di vettore è lo spostamento, cioè un oggetto le cui componenti (proiezioni) sono lunghezze.
Un tensore a 2 indici è qualcosa che ha un numero di componenti pari al quadrato della dimensione, e le componenti non sono lunghezze ma aree, che in qualche modo sono determinate da 2 soli vettori.
A 3 indici le componenti sono volumi in qualche modo determinati da 3 vettori, ma non penso sia molto utile una visualizzazione geometrica di questo tipo.
I tensori sono gli stessi in qualsiasi disciplina, solo che magari l'enfasi è più centrata su certe proprietà piuttosto che su altre, ma sono sempre la stessa cosa.
La definizione "moderna" di tensore (che semplifica quella originaria di Einstein che si basava sui cambiamenti di coordinate) è quella di applicazione multilineare definita su un prodotto scalare di spazi vettoriali e loro duali. In generale, se $V$ è uno spazio vettoriale e $V^\star$ indica il suo duale, un tensore di tipo $(r,s)$ è una applicazione multilinere
$T:V^r\times (V^\star)^s\rightarrow RR$
dove con $V^r$ indico il prodotto cartesiano di $V$ con se stesso $r$-volte. Con multilineare intendo che essa risulti lineare in ogni elemento, cioè $\forall\ j\in\{1,\ldots,n\},\ \forall v_i\in V,\ i=1,\ldots,r,\ i\ne j,\ forall\ a_j,\ b_j\in V,\ \forall\ \alpha,\ \beta\in RR,\ \forall\ \omega_k\in V^{\star},\ \k=1,\ldots,s$ si ha
$T(v_1,\ldots,\alpha a_j+\beta b_j,\ldots,v_r,\omega_1,\ldots,\omega_k)=$
$=\alpha T(v_1,\ldots,a_j,\ldots,v_r\omega_1,\ldots,\omega_k)+\beta T(v_1,\ldots,b_j,\ldots,v_r,\omega_1,\ldots,\omega_k)$
e anlogamente
$\forall\ j\in\{1,\ldots,n\},\ \forall \omega_i\in V^\star,\ i=1,\ldots,s,\ i\ne j,\ forall\ a_j,\ b_j\in V^\star,\ \forall\ \alpha,\ \beta\in RR,\ \forall\ \v_k\in V,\ \k=1,\ldots,r$ si ha
$T(v_1,\ldots,v_r,\omega_1,\ldots,\alpha a_j+\beta b_j,\ldots\omega_k)=$
$=\alpha T(v_1,\ldots,v_r,\omega_1,\ldots,a_j,\ldots\omega_k)+\beta T(v_1,\ldots,v_r,\omega_1,\ldots, b_j,\ldots\omega_k)$
Definiti in questo modo, risulta ovvio che vettori e matrici risultino tensori di un dato tipo (rispettivamente $(1,0)$ e $(1,1)$) e che per essi valgono proprietà analoghe a quelle di uno spazio vettoriale di funzionali lineari.
$T:V^r\times (V^\star)^s\rightarrow RR$
dove con $V^r$ indico il prodotto cartesiano di $V$ con se stesso $r$-volte. Con multilineare intendo che essa risulti lineare in ogni elemento, cioè $\forall\ j\in\{1,\ldots,n\},\ \forall v_i\in V,\ i=1,\ldots,r,\ i\ne j,\ forall\ a_j,\ b_j\in V,\ \forall\ \alpha,\ \beta\in RR,\ \forall\ \omega_k\in V^{\star},\ \k=1,\ldots,s$ si ha
$T(v_1,\ldots,\alpha a_j+\beta b_j,\ldots,v_r,\omega_1,\ldots,\omega_k)=$
$=\alpha T(v_1,\ldots,a_j,\ldots,v_r\omega_1,\ldots,\omega_k)+\beta T(v_1,\ldots,b_j,\ldots,v_r,\omega_1,\ldots,\omega_k)$
e anlogamente
$\forall\ j\in\{1,\ldots,n\},\ \forall \omega_i\in V^\star,\ i=1,\ldots,s,\ i\ne j,\ forall\ a_j,\ b_j\in V^\star,\ \forall\ \alpha,\ \beta\in RR,\ \forall\ \v_k\in V,\ \k=1,\ldots,r$ si ha
$T(v_1,\ldots,v_r,\omega_1,\ldots,\alpha a_j+\beta b_j,\ldots\omega_k)=$
$=\alpha T(v_1,\ldots,v_r,\omega_1,\ldots,a_j,\ldots\omega_k)+\beta T(v_1,\ldots,v_r,\omega_1,\ldots, b_j,\ldots\omega_k)$
Definiti in questo modo, risulta ovvio che vettori e matrici risultino tensori di un dato tipo (rispettivamente $(1,0)$ e $(1,1)$) e che per essi valgono proprietà analoghe a quelle di uno spazio vettoriale di funzionali lineari.
Ma quindi il tensore è una specie di campo vettoriale lineare?
@magliocurioso: è la mamma di tutti i campi! Sì, in effetti è una cosa del genere, o meglio, generalizza il concetto di campo vettoriale. Una cosa "divertente" è ad esempio l'interpretazione di come possa esprimersi, in una forma alternativa, un tensore di tipo $(r,s)$ con $r+s=3$.
Il ragionamento è il seguente (è puramente "intuitivo", non è qualcosa che si facia "davvero"): se un vettore (tensore di tipo $(1,0)$) ha componenti che posso scrivere come $v^i$ e porle lungo una riga (colonna), mentre una matrice (che è un tensore di tipo $(1,1)$) ha componenti che si possono scrivere come $A_i^j$ (con l'indice in basso per le righe e quello in alto per le colonne) allora un tensore di tipo $(2,1)$, ad esempio, ha componenti del tipo $T_{ij}^k$ e potrei allora pensarlo come una sorta di matrice "cubica" dove gli indici in basso rappresentano le entrate (righe/colonne) di una matrice $T^k$ e l'indice $k$ la sovrapposizione di queste matrici l'una sull'altra.
Ricordo questa cosa in uno dei tanti libri che rianalizzivano (o cercavano di farlo) la teoria di Cartan del calcolo differenziale esterno collegandolo alle grandezze fisiche e agli operatori della fisica stessa (c'è tutto un capitolo del calcolo differenziale esterno che associa l'operatore di differenziazione $d$ esteso ai tensori - e non solo definito sulle forme differenziali - agli operatori gradiente, divergenza e rotore) e vedendo quindi un tensore a tre "componenti" come una sorta di "operatore spaziale" che agisse, a sua volta, su altre grandezze definite nello spazio. Ma, ripeto, è più un'idea intuitiva (o se vuoi una sorta di "fantamatematica") che una cosa che si faccia davvero). Se non altro, fornisce l'idea del fatto che, in qualche modo, un tensore si associa ad un concetto di spazio vettoriale che discende dalla costruzione logica che porta da uno spazio di vettori a quello di matrici.
Il ragionamento è il seguente (è puramente "intuitivo", non è qualcosa che si facia "davvero"): se un vettore (tensore di tipo $(1,0)$) ha componenti che posso scrivere come $v^i$ e porle lungo una riga (colonna), mentre una matrice (che è un tensore di tipo $(1,1)$) ha componenti che si possono scrivere come $A_i^j$ (con l'indice in basso per le righe e quello in alto per le colonne) allora un tensore di tipo $(2,1)$, ad esempio, ha componenti del tipo $T_{ij}^k$ e potrei allora pensarlo come una sorta di matrice "cubica" dove gli indici in basso rappresentano le entrate (righe/colonne) di una matrice $T^k$ e l'indice $k$ la sovrapposizione di queste matrici l'una sull'altra.
Ricordo questa cosa in uno dei tanti libri che rianalizzivano (o cercavano di farlo) la teoria di Cartan del calcolo differenziale esterno collegandolo alle grandezze fisiche e agli operatori della fisica stessa (c'è tutto un capitolo del calcolo differenziale esterno che associa l'operatore di differenziazione $d$ esteso ai tensori - e non solo definito sulle forme differenziali - agli operatori gradiente, divergenza e rotore) e vedendo quindi un tensore a tre "componenti" come una sorta di "operatore spaziale" che agisse, a sua volta, su altre grandezze definite nello spazio. Ma, ripeto, è più un'idea intuitiva (o se vuoi una sorta di "fantamatematica") che una cosa che si faccia davvero). Se non altro, fornisce l'idea del fatto che, in qualche modo, un tensore si associa ad un concetto di spazio vettoriale che discende dalla costruzione logica che porta da uno spazio di vettori a quello di matrici.
Grazie ciampax per le tue risposte.
Posto un'altra domanda: riguardo al significato puramente geometrico del tensore, cosa si può dire? È un qualcosa di rappresentabile graficamente?
Posto un'altra domanda: riguardo al significato puramente geometrico del tensore, cosa si può dire? È un qualcosa di rappresentabile graficamente?
Se rifletti su quello che ho detto prima, dovresti intuire da te come sta la faccenda.
dubito fortemente ci sia un modo per rappresentarlo graficamente: sarebbe la prima cosa che t'avrebbero detto per spiegarti cos'è.
Io continuo a non capire cos'è un tensore e a cosa può servirmi! io non lo studio dal punto di vista matematico, quindi parlare di tensori a più indici (non so come si dice, intendo quelli che si rappresentano con matrici a più dimensioni) non mi semplifica affatto le idee.
Potreste gentilmente spiegarmi a cosa può servire il tensore degli sforzi? è sbagliato dire che preso un cubetto, rappresentaa come sono distrubuite le forze su ciascuna faccia (le varie componenti del tensore)?
il mio professore non ha parlato di un generico tensore per spiegarmi cos'è, ma ha parlato direttamente di tensore degli sforzi, per cui perdonatemi se cerco di rifarmi sempre a questo esempio.
Io la forza l'ho sempre immaginata come un vettore, quindi non vedo la necessità di complicare le cose. la forza in un punto è la somma di tutte le forze agenti nello stesso punti, qunidi trovata la risultante questa ha un modulo, una direzione e un verso. 3 componenti. A cosa cavolo possono servirne 9?
per rispondere a questa domanda ho pensato che ciò a cui mi sto riferendo non è più un punto ma un volumetto infinitesimo, per cui ho bisogno di definire una normale a tale volumetto e la forza collegata ad essa (le famose due direzioni del tensore). C'è qualcosa di giusto in quello che ho scritto oppure sto sbagliando completamente strada?
p.s. scusatemi per l'assoluta mancanza di formalismo e la banalità della domanda
Io continuo a non capire cos'è un tensore e a cosa può servirmi! io non lo studio dal punto di vista matematico, quindi parlare di tensori a più indici (non so come si dice, intendo quelli che si rappresentano con matrici a più dimensioni) non mi semplifica affatto le idee.
Potreste gentilmente spiegarmi a cosa può servire il tensore degli sforzi? è sbagliato dire che preso un cubetto, rappresentaa come sono distrubuite le forze su ciascuna faccia (le varie componenti del tensore)?
il mio professore non ha parlato di un generico tensore per spiegarmi cos'è, ma ha parlato direttamente di tensore degli sforzi, per cui perdonatemi se cerco di rifarmi sempre a questo esempio.
Io la forza l'ho sempre immaginata come un vettore, quindi non vedo la necessità di complicare le cose. la forza in un punto è la somma di tutte le forze agenti nello stesso punti, qunidi trovata la risultante questa ha un modulo, una direzione e un verso. 3 componenti. A cosa cavolo possono servirne 9?
per rispondere a questa domanda ho pensato che ciò a cui mi sto riferendo non è più un punto ma un volumetto infinitesimo, per cui ho bisogno di definire una normale a tale volumetto e la forza collegata ad essa (le famose due direzioni del tensore). C'è qualcosa di giusto in quello che ho scritto oppure sto sbagliando completamente strada?
p.s. scusatemi per l'assoluta mancanza di formalismo e la banalità della domanda
Il fatti di usare un tensore per rapprsentare le forze si basa proprio sul fatto che non stai analizzando un punto materiale, ma un oggetto solido nello spazio tridimensionale. Credo ti abbiano spiegato cosa rappresentano, formalmente, le componenti $F_{ij}$ del tensore (che si rappresenta come una matrice) o no?
ora si, quando ho scritto il post non lo sapevo ancora 
penso che finalmente sono riuscito a farmi una buona idea del tensore degli sforzi, ma non sono sicuro di avere una buona idea di un generale tensore del secondo ordine.
È giusto dire che il tensore è un vettore capace di descrivere qualcosa non inerente ad un punto ma ad un volume? in pratica, posso generalizzare ciò che ho capito del tensore degli sforzi a tutti i tensori del secondo ordine?
penso che finalmente sono riuscito a farmi una buona idea del tensore degli sforzi, ma non sono sicuro di avere una buona idea di un generale tensore del secondo ordine.
È giusto dire che il tensore è un vettore capace di descrivere qualcosa non inerente ad un punto ma ad un volume? in pratica, posso generalizzare ciò che ho capito del tensore degli sforzi a tutti i tensori del secondo ordine?
Se sono pensati in senso fisico, sì. In sostanza rappresentano il modo in cui interagiscano le forze nelle varie direzioni o a causa delle interazioni di altre grandezze con esse. (Oddio, l'ho detta proprio male, spero che tu comprenda il senso).
non ti preoccupare, penso di aver capito!approfitto dell'occasione per fare un'altra domanda sui tensori. Io so che la divergenza di un campo vettoriale è una misura di quanto, punto per punto il campo "diverge", vale a dire si "allontana" dal punto. Ora cos'è la divergenza di un campo tensoriale (se così si chiama)? se sviluppo la divergenza del tensore degli sforzi ottengo per ogni asse due componenti, una normale al volumetto, una parallela ad esso. Questa cosa mi sembra un po' andare contro l'idea che ho di divergenza! dal punto di vista dei calcoli mi sembra una cosa ovvia e alquanto banale, ma in questo modo la divergenza perde il suo significato originale! (l'ho fatto in due dimensioni, ma presumo valga lo stesso in 3)
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