Tensore
Cos'è un tensore? ho cercato un po' su internet e non ci ho capito molto. La mia è una curiosità dovuta al fatto che sto leggendo un libro di astrofisica che nomina i tensori, ma non riesco a dare un buon significato alla cosa! Qualcuno sa spiegarmi semplicisticamente cos'è un tensore e/o suggerirmi un qualcosa di semplice da leggere (purtroppo non ho tempo per studiare anche questo) per capire almeno superficialmente l'argomento? sono al primo anno di ingegneria per cui le mie conoscenze matematiche sono limitare ad analisi I e II, geometria e algebra.
grazie in anticipo lìper l'aiuto!
p.s. spero di essere nella sezione giusta
grazie in anticipo lìper l'aiuto!
p.s. spero di essere nella sezione giusta
Risposte
ciao!
se vuoi una risposta intuitiva potresti considerare i tensori come generalizzazioni a più dimensioni degli usuali vettori, esattamente come i vettori possono essere pensati come una generalizzazione del concetto di scalare;
infatti, così come gli scalari possono "essere considerati" come una matrice 1x1 e i vettori come una matrice 1x4 oppure 4x1 (ovvero come un "vettore riga" oppure "vettore colonna"), i tensori possono essere considerati come una matrice nxm.
Nella maggior parte dei problemi di tipo astrofisico si tende a considerare quei tensori rappresentabili tramite matrici con m=n, ossia del tipo nxn, cioè matrici quadrate.
Da un punto di vista geometrico, invece, un tensore rappresenta una trasformazione di un vettore in un altro vettore (eventualmente lo stesso vettore di partenza nel caso banale in cui la trasformazione è data dalla matrice identità).
Spero di esserti stato utile
se vuoi una risposta intuitiva potresti considerare i tensori come generalizzazioni a più dimensioni degli usuali vettori, esattamente come i vettori possono essere pensati come una generalizzazione del concetto di scalare;
infatti, così come gli scalari possono "essere considerati" come una matrice 1x1 e i vettori come una matrice 1x4 oppure 4x1 (ovvero come un "vettore riga" oppure "vettore colonna"), i tensori possono essere considerati come una matrice nxm.
Nella maggior parte dei problemi di tipo astrofisico si tende a considerare quei tensori rappresentabili tramite matrici con m=n, ossia del tipo nxn, cioè matrici quadrate.
Da un punto di vista geometrico, invece, un tensore rappresenta una trasformazione di un vettore in un altro vettore (eventualmente lo stesso vettore di partenza nel caso banale in cui la trasformazione è data dalla matrice identità).
Spero di esserti stato utile
grazie ad entrambi delle risposte! mi scuso per aver risposto solo ora, ma avevo l'esame di fisica II e non ho avuto tempo da dedicare a curiosità personali, sopratutto perchè non sono cose facili. oggi cerco di leggere un po' il libretto di dissonance, anche se dubito che capirò molto. Per morgan82, sei stato chiarissimo nella tua semplicità, ho capito la descrizione matematica di un tensore, ma fisicamente come posso utilizzare una matrice nxm (o nxn) per descrivere un processo fisico? il vettore è sostanzialmente una freccia e il suo utilizzo è parecchio ovvio, ma il tensore?
@ pazkowski
Lasciando da parte la definizione rigorosa, la quale mi sembra che -- giustamente -- non ti interessi, io sono psicologicamente affrancato dalla definizione seguente di tensore (che potrebbe andar bene per i fisici).
\(V\) è uno spazio vettoriale reale di dimensione \(n\). Fissata una base \(v = (v_1,\ldots,v_n) \) di \(V\), un tensore \(T\) di tipo (h,k) su \(V\) è descritto da un insieme di \(n^{h+k}\) numeri reali
\[
vT_{j_1,\ldots,j_h}^{i_1,\ldots,i_k}
\]
(in cui ogni singolo indice varia tra \(1\) e \(n\)). Se \( u = (u_1,\ldots,u_n) \) è un'altra base di \( V \) e il cambiamento di base \( v \to u \) è rappresentato dalla matrice \( A \), posto \(B = A^{-1}\), abbiamo
\[
uT_{j_1,\ldots,j_h}^{i_1,\ldots,i_k} = \sum A^{i_1}_{\mu_1} \cdots A^{i_k}_{\mu_k} B^{\nu_1}_{j_1} \cdots B^{\nu_h}_{j_h} \, vT_{j_1,\ldots,j_h}^{i_1,\ldots,i_k}
\]
dove la somma è effettuata sugli indici \(\mu_1, \ldots, \mu_k, \nu_1, \ldots, \nu_h \) ciascuno dei quali varia da \(1\) a \(n\). Ecco cos'è un tensore \(T\), un insieme di numeri che varia in un certo modo se si cambia base: il modo in cui varia determina il tipo di \(T\).
Esempio: un vettore \(P\) di \(V\) è un tensore di tipo (1,0). Infatti, rispetto alla base \(v\) il vettore \(P\) è individuato dalle sue coordinate \(vP^i\) per \(i = 1,\ldots,n\) e, se \(X = (vP^1,\ldots,vP^n)\) e \(Y = (uP^1,\ldots,uP^n)\) sono le coordinate di \(P\) rispetto alle basi \(v\) e \(u\), si ha facilmente che
\[
Y = A^{-1}X = BX
\]
Lasciando da parte la definizione rigorosa, la quale mi sembra che -- giustamente -- non ti interessi, io sono psicologicamente affrancato dalla definizione seguente di tensore (che potrebbe andar bene per i fisici).
\(V\) è uno spazio vettoriale reale di dimensione \(n\). Fissata una base \(v = (v_1,\ldots,v_n) \) di \(V\), un tensore \(T\) di tipo (h,k) su \(V\) è descritto da un insieme di \(n^{h+k}\) numeri reali
\[
vT_{j_1,\ldots,j_h}^{i_1,\ldots,i_k}
\]
(in cui ogni singolo indice varia tra \(1\) e \(n\)). Se \( u = (u_1,\ldots,u_n) \) è un'altra base di \( V \) e il cambiamento di base \( v \to u \) è rappresentato dalla matrice \( A \), posto \(B = A^{-1}\), abbiamo
\[
uT_{j_1,\ldots,j_h}^{i_1,\ldots,i_k} = \sum A^{i_1}_{\mu_1} \cdots A^{i_k}_{\mu_k} B^{\nu_1}_{j_1} \cdots B^{\nu_h}_{j_h} \, vT_{j_1,\ldots,j_h}^{i_1,\ldots,i_k}
\]
dove la somma è effettuata sugli indici \(\mu_1, \ldots, \mu_k, \nu_1, \ldots, \nu_h \) ciascuno dei quali varia da \(1\) a \(n\). Ecco cos'è un tensore \(T\), un insieme di numeri che varia in un certo modo se si cambia base: il modo in cui varia determina il tipo di \(T\).
Esempio: un vettore \(P\) di \(V\) è un tensore di tipo (1,0). Infatti, rispetto alla base \(v\) il vettore \(P\) è individuato dalle sue coordinate \(vP^i\) per \(i = 1,\ldots,n\) e, se \(X = (vP^1,\ldots,vP^n)\) e \(Y = (uP^1,\ldots,uP^n)\) sono le coordinate di \(P\) rispetto alle basi \(v\) e \(u\), si ha facilmente che
\[
Y = A^{-1}X = BX
\]
"dissonance":
Questo è un bellissimo libretto introduttivo sui tensori:
post500966.html#p500966
dissonance mi è stato proposto, forse in maniera indecente, nel corso di fluidodinamica il concetto di tensore.
Ho intuito che si tratta di matrici tridimensionali, ma nulla di più.
Conosco poco l'inglese. Ti chiedo dunque, forse approfittando della tua gentilezza, una rapida sintesi dello Sharipov.
Grazie in anticipo!
Intuitivamente credo che il modo migliore per pensare un tensore sia proprio quello di generalizzazione (in piu' dimensioni) delle metrici (piu' dimensioni, nel senso che un tensore si puo' pensare come una cosa che ha "tanti indici", cosi' come una matrice e' una cosa che ha 2 indici).
Un'introduzione abbastanza abbordabile in italiano, che tuttavia ha carattere puramente matematico, e quindi da' una definizione formale senza lasciare troppo spazio all'intuizione, e' sul testo Algebra Lineare di Lang, oppure su Algebra Lineare di Ciliberto.
Un'introduzione abbastanza abbordabile in italiano, che tuttavia ha carattere puramente matematico, e quindi da' una definizione formale senza lasciare troppo spazio all'intuizione, e' sul testo Algebra Lineare di Lang, oppure su Algebra Lineare di Ciliberto.
Sul Lang che possiedo manca la trattazione tensoriale (ho controllato anche l'indice)...
Chiedo scusa. Non avevo il Lang sotto mano quando ho scitto il post. Mi riferivo ad Algebra, non Algebra Lineare, di Lang. Non ho controllato, ma da quel che leggo su wikipedia sembra che qualcosa ci sia, sebbene sia una trattazione specifica e rigorosa, che forse non è quello che cerchi:
Serge Lang, Algebra, Springer, 2005. - Una classica introduzione all'algebra a livello di laurea specialistica. Si parla di prodotto tensoriale tra spazi vettoriali da una prospettiva algebrica (universale), prerequisito fondamentale per trattare argomenti come l'algebra commutativa e la geometria algebrica.
Il testo di Ciliberto, che non trovo online, ma che ho letto tempo fa, dovrebbe essere sulla stessa linea.
Serge Lang, Algebra, Springer, 2005. - Una classica introduzione all'algebra a livello di laurea specialistica. Si parla di prodotto tensoriale tra spazi vettoriali da una prospettiva algebrica (universale), prerequisito fondamentale per trattare argomenti come l'algebra commutativa e la geometria algebrica.
Il testo di Ciliberto, che non trovo online, ma che ho letto tempo fa, dovrebbe essere sulla stessa linea.
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