Tensore
Salve a tutti mi chiamo Luca e sono studente ad Ingegneria, frequento il Corso di Meccanica dei Solidi e ieri abbiamo iniziato l'analisi della deformazione. Nel modello di corpo continuo deformabile e linearizzando la funzione spostamento (supposta liscia e biiettiva) abbiamo ottenuto che $du'=du+Grad(s(p'))\cdot du$ con $du=(p-p')$ spostamento infinitesimo del punto p rispetto al punto p' nella configurazione iniziale (du' è relativo invece allo spostamento tra i due punti nella configurazione deformata), con p' centro dell'intorno circolare I centrato in p'. L'approssimazione in Taylor al primo ordine è corretta nell'ipotesi di piccoli spostamenti e di Gradienti di spostamento molto minori dell'unità. Essendo in questo caso lo spostamento tridimensionale il Gradiente di spostamento è in verità il Jacobiano 3x3 delle coordinate cartesiane di spostamento del punto p' rispetto al sistema di riferimento centrato in 0, derivate parzialmente rispetto a x,y,z. Ovvero ricordando che $du$ è il vettore in $mathbb(R)^3$ tc $du= (dx,dy,dz)$ allora $grad (s(p'))\cdot du=( ( (partial u(p'))/(partial x) , (partial u(p'))/(partial y) , (partialu(p'))/(partial z) ),( (partialv(p'))/(partial x) , (partialv(p'))/(partial y) , (partialv(p'))/(partial z) ),( (partialw(p'))/(partial x) , (partialw(p'))/(partial y) , (partialw(p'))/(partial z) ) ) \cdot (dx,dy,dz)^T $ .
A questo punto la matrice 3x3 delle derivate parziali può essere decomposta nella sua parte simmetrica e antisimmetrica ovvero $grad (s(p'))=1/2(grad (s(p'))-grad^T (s(p')))+1/2(grad (s(p'))+grad^T (s(p')))$.
Ecco che $1/2(grad (s(p'))-grad^T (s(p')))=mathbb(W) $ è la parte antisimmetrica ed è il Tensore di Rotazione Rigida infinitesima (della meccanica dei corpi rigidi) mentre $1/2(grad (s(p'))+grad^T (s(p'))=mathbb(E) $ è il Tensore delle Deformazioni (nell'ipotesi di piccoli spostamenti e gradiente spostamento << 1).
Segue la formula $s(p)=s(p')+mathbb(W)\cdot (p-p')+mathbb(E)\cdot (p-p')$ che rappresenta traslazione rigida+rotazione rigida+deformazione del punto p rispetto al punto p'.
La definizione dataci dal prof di Tensore è quella di oggetto matematico invariante per rototraslazioni del sistema di riferimento (banalmente qualsiasi vettore è un tensore). Non essendo molto pratico coi Tensori vi chiedo se ogni matrice quadrata possa essere considerata Tensore e come mai sono proprio quelle simmetriche e antisimmetriche ad essere rilevanti in meccanica? Inoltre come interpreto l'invarianza rispetto alla rototraslazione del sistema di riferimento (assunto inerziale) quando ho a che fare con matrici? Perché coi vettori è facile, conservano modulo direzione e verso se traslati (ciò che cambiano sono le coordinate) ma con una 3x3??.
Vi ringrazio moltissimo
A questo punto la matrice 3x3 delle derivate parziali può essere decomposta nella sua parte simmetrica e antisimmetrica ovvero $grad (s(p'))=1/2(grad (s(p'))-grad^T (s(p')))+1/2(grad (s(p'))+grad^T (s(p')))$.
Ecco che $1/2(grad (s(p'))-grad^T (s(p')))=mathbb(W) $ è la parte antisimmetrica ed è il Tensore di Rotazione Rigida infinitesima (della meccanica dei corpi rigidi) mentre $1/2(grad (s(p'))+grad^T (s(p'))=mathbb(E) $ è il Tensore delle Deformazioni (nell'ipotesi di piccoli spostamenti e gradiente spostamento << 1).
Segue la formula $s(p)=s(p')+mathbb(W)\cdot (p-p')+mathbb(E)\cdot (p-p')$ che rappresenta traslazione rigida+rotazione rigida+deformazione del punto p rispetto al punto p'.
La definizione dataci dal prof di Tensore è quella di oggetto matematico invariante per rototraslazioni del sistema di riferimento (banalmente qualsiasi vettore è un tensore). Non essendo molto pratico coi Tensori vi chiedo se ogni matrice quadrata possa essere considerata Tensore e come mai sono proprio quelle simmetriche e antisimmetriche ad essere rilevanti in meccanica? Inoltre come interpreto l'invarianza rispetto alla rototraslazione del sistema di riferimento (assunto inerziale) quando ho a che fare con matrici? Perché coi vettori è facile, conservano modulo direzione e verso se traslati (ciò che cambiano sono le coordinate) ma con una 3x3??.
Vi ringrazio moltissimo
Risposte
Un tensore del secondo ordine $ul(A)$ è una trasformazione lineare nello spazio dei vettori che applicato a un vettore $u$ restituisce il vettore $v:=ul(A)u$.
Il concetto di tensore di secondo ordine altro non è che una particolare funzione lineare data dal prodotto riga per colonna di una matrice $A in M_3(RR)$ moltiplicata a sinistra per il vettore $u in RR^3$:
definita ponendo
L'importanza della matrice simmetrica e antisimmetrica è data dalla loro descrizione delle variazioni di stato; a breve, seguendo la lezione, ti sarà chiaro il come e il perché
In ogni caso quando senti parlare di matrice simmetrica dovresti pensare immediatamente al teorema spettrale 
Il concetto di tensore di secondo ordine altro non è che una particolare funzione lineare data dal prodotto riga per colonna di una matrice $A in M_3(RR)$ moltiplicata a sinistra per il vettore $u in RR^3$:
$f : V->V$ con $ V sube RR^3$
definita ponendo
$u|->Au=v; qquad AA u,v in V, A in M_3(RR)$
L'importanza della matrice simmetrica e antisimmetrica è data dalla loro descrizione delle variazioni di stato; a breve, seguendo la lezione, ti sarà chiaro il come e il perché
In ogni caso quando senti parlare di matrice simmetrica dovresti pensare immediatamente al teorema spettrale
In pratica ogni endomorfismo nel momento stesso in cui è applicato a un vettore diventa tensore??
Effettivamente avevo intuito che gli autovalori delle direzioni principali di deformazione centravano qualcosa essendo una simmetrica diagonalizzabile in $mathbb(R)$, il punto è come? E da questo capirò la definizione di invarianza dataci dal prof? Se mi dici che verrà fatto a lezione super!..... sennò in caso chiederò a te
Effettivamente avevo intuito che gli autovalori delle direzioni principali di deformazione centravano qualcosa essendo una simmetrica diagonalizzabile in $mathbb(R)$, il punto è come? E da questo capirò la definizione di invarianza dataci dal prof? Se mi dici che verrà fatto a lezione super!..... sennò in caso chiederò a te
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