Tema d'esame Matematica del Discreto
Ciao atutti, frequento un corso di Matematica Discreta ma sfortunatamente non riesco a capirci proprio nulla, ho provato a chiedere in giro ai compagni di corso ma siamo tutti più o meno nelle stesse acque... chiedo perciò aiuto a voi che sicuramente ne sapete più di me, sperando nella vostra disponibilità...
questo è un esercizio tratto da un tema d'esame, qualcuno saprebbe aiutarmi a capire come funziona passo passo un esercizio come questo? non so nemmeno come partire!
Sia F : R^5 -------- R^4 l’applicazione lineare tale che
f ((a, b, c, d, e)) = (2c – d, a + b, a + e, d – e) per ogni
elemento (a, b, c, d, e) di R^5 .
a) Determinare una base dei sottospazi Ker F
e F (R^5 ) .
b) Se possibile, determinare un vettore v tale che F (v) = ( 3 , 4 , 5 , 6 ) .
c) Dire se esiste un sottospazio U di R^5 diverso da R^5
tale che F (U) = F ( R^5 ) .
d) Dire se esiste un sottospazio W di R^5 tale che W ha infiniti elementi e F (w) è diverso da (0,0,0,0) sew è diverso da (0,0,0,0,0) .
Grazie mille, non so proprio come muovermi
questo è un esercizio tratto da un tema d'esame, qualcuno saprebbe aiutarmi a capire come funziona passo passo un esercizio come questo? non so nemmeno come partire!
Sia F : R^5 -------- R^4 l’applicazione lineare tale che
f ((a, b, c, d, e)) = (2c – d, a + b, a + e, d – e) per ogni
elemento (a, b, c, d, e) di R^5 .
a) Determinare una base dei sottospazi Ker F
e F (R^5 ) .
b) Se possibile, determinare un vettore v tale che F (v) = ( 3 , 4 , 5 , 6 ) .
c) Dire se esiste un sottospazio U di R^5 diverso da R^5
tale che F (U) = F ( R^5 ) .
d) Dire se esiste un sottospazio W di R^5 tale che W ha infiniti elementi e F (w) è diverso da (0,0,0,0) sew è diverso da (0,0,0,0,0) .
Grazie mille, non so proprio come muovermi
Risposte
Ti consiglio di scrivere le formule per bene 
Partiamo dalla a)
Quando un vettore appartiene al $ker$ di una applicazione lineare $F$? Quando la sua immagine è nulla $F(v)=0$. Ovvero $(2c-d,a+b,a+e,d-e)=0$. Imponendo che ogni componente sia nulla ottieni delle condizioni affinché il tuo generico vettore di $RR^5$ appartenga al $kerF$.
A questo punto estrarre una base non sarà facile.
Per quanto riguarda l'immagine della $F$, una stima della sua dimensione la puoi avere dalla nota formule $dimRR^5=dim Ker f + dim ImF$.
Per calcolare una base: considerata una base (magari quella canonica) basta calcolarne l'immagine secondo la $F$ di quei vettore e scartare quelli linearmente dipendenti.
Partiamo dalla a)
Quando un vettore appartiene al $ker$ di una applicazione lineare $F$? Quando la sua immagine è nulla $F(v)=0$. Ovvero $(2c-d,a+b,a+e,d-e)=0$. Imponendo che ogni componente sia nulla ottieni delle condizioni affinché il tuo generico vettore di $RR^5$ appartenga al $kerF$.
A questo punto estrarre una base non sarà facile.
Per quanto riguarda l'immagine della $F$, una stima della sua dimensione la puoi avere dalla nota formule $dimRR^5=dim Ker f + dim ImF$.
Per calcolare una base: considerata una base (magari quella canonica) basta calcolarne l'immagine secondo la $F$ di quei vettore e scartare quelli linearmente dipendenti.
d'accordo, grazie! per gli altri punti mi sai aiutare?
b) basta calcolare la controimmagine del vettore dato. Considera che si tratta sempre di risolvere, componente per componente, $(2c-d,a+b,a+e,d-e)=(3,4,5,6)$
c) In base a quanto stabilito al punto a) ti basta prendere i vettori le cui immagini sono una base dell' $ImF$.
d) mi dispiace non riesco a capire la domanda, prova a scriverla come nella consegna.
c) In base a quanto stabilito al punto a) ti basta prendere i vettori le cui immagini sono una base dell' $ImF$.
d) mi dispiace non riesco a capire la domanda, prova a scriverla come nella consegna.
[mod="Martino"]Sposto in algebra lineare. Attenzione alla sezione, grazie.[/mod]
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