Tangente comune esterna a due circonferenze
Ciao a tutti, ho un problema da risolvere, mentre ero al lavoro mi è capitato di dover calcolare l'interasse , cioè la distanza tra due circonferenze(pulegge) di dimensioni diverse, sapendo il raggio della prima e della seconda, sapendo inoltre che la cinghia che le avvolge, e cioè il perimetro che forma la figura è data.
Al lavoro mi hanno detto che il problema va risolto per via empirica, cioè metti le pulegge, avvolgi la cinghia e misuri linterasse. Solitamente ci sono delle tabelle di riferimento per queste cose ma volevo conoscere il procedimento matematico che sta alla base di tutto. qui di seguito cè il link della figura in questione.
http://www.webalice.it/giusarnataro/...g_duecirc.html
Convenzioni: Circonferenza di dx Circ1 e di sx Circ2
Consideriamo che l'asse delle ascisse passi per i due centri e che prendiamo in considerazione la parte alta del disegno e cioè quella con le y positive solamente, in modo da avere solamente metè cinghia da avvolgere, metà circonferenza1, una tangente che tocca in G ad in H, metà circonferenza circ2.
A questo punto molti dicono: il problema è semplice,
META' CINGHIA= 1/4 CIRC1+ L'ARCO SOTTESO DALLA CORDA CHE FORMA ALFA ("non in figura "ma è l'angolo formato dalla verticale in centro1 e la retta AG)+GH+[ (1/4 CIRC2)- (L'ARCO SOTTESO DALLA CORDA CHE FORMA ALFA)].
L'angolo alfa è uguale sia nella prima che nella seconda circonferenza, per costruzione GH ed FB sono paralleli, e quindi se conosco FB conosco GH.
FB= senGAM*AF,
so inoltre che AF è pari a r1-r2 e l'anolo GAM è 90°-alfa, quindi torno sempre al punto di prima e cioè COME CALCOLARE ALFA?
Molti hanno risolto il problema trascurando alfa ma si crea un'approssimazione, io invece vorrei calcolarlo, come fare?
Diciamo che questa è la via trigonometrica che però non mi porta molto avanti, secondo voi mi sono scordato qulcosa o che? avevo provato a fare un sistema con l'equazione della circonferenza e della retta, ma le cose si comlicano parecchio. HELP ME PLS !!!SOB SOB
Al lavoro mi hanno detto che il problema va risolto per via empirica, cioè metti le pulegge, avvolgi la cinghia e misuri linterasse. Solitamente ci sono delle tabelle di riferimento per queste cose ma volevo conoscere il procedimento matematico che sta alla base di tutto. qui di seguito cè il link della figura in questione.
http://www.webalice.it/giusarnataro/...g_duecirc.html
Convenzioni: Circonferenza di dx Circ1 e di sx Circ2
Consideriamo che l'asse delle ascisse passi per i due centri e che prendiamo in considerazione la parte alta del disegno e cioè quella con le y positive solamente, in modo da avere solamente metè cinghia da avvolgere, metà circonferenza1, una tangente che tocca in G ad in H, metà circonferenza circ2.
A questo punto molti dicono: il problema è semplice,
META' CINGHIA= 1/4 CIRC1+ L'ARCO SOTTESO DALLA CORDA CHE FORMA ALFA ("non in figura "ma è l'angolo formato dalla verticale in centro1 e la retta AG)+GH+[ (1/4 CIRC2)- (L'ARCO SOTTESO DALLA CORDA CHE FORMA ALFA)].
L'angolo alfa è uguale sia nella prima che nella seconda circonferenza, per costruzione GH ed FB sono paralleli, e quindi se conosco FB conosco GH.
FB= senGAM*AF,
so inoltre che AF è pari a r1-r2 e l'anolo GAM è 90°-alfa, quindi torno sempre al punto di prima e cioè COME CALCOLARE ALFA?
Molti hanno risolto il problema trascurando alfa ma si crea un'approssimazione, io invece vorrei calcolarlo, come fare?
Diciamo che questa è la via trigonometrica che però non mi porta molto avanti, secondo voi mi sono scordato qulcosa o che? avevo provato a fare un sistema con l'equazione della circonferenza e della retta, ma le cose si comlicano parecchio. HELP ME PLS !!!SOB SOB
Risposte
nessuno che abbia idea di come fare?
Sono bene accette tutte le idee, anche le motivazioni per cui nessuno replica...tks..
Sono bene accette tutte le idee, anche le motivazioni per cui nessuno replica...tks..
"cimbro":
Sono bene accette tutte le idee, anche le motivazioni per cui nessuno replica...tks..
Sarebbe meglio postare una figura chiara (puoi allegare un'immagine) e utilizzare le formule (clicca sul link).
Il link che hai messo non porta alla figura che desideravi mostrare.
Purtroppo non so dove si trova la figura, quindi
non userò le lettere che tu hai usato.
Considero l'interasse orizzontale.
Chiamo $\beta$ l'angolo tra la verticale ed il raggio al punto di tangenza.
L'angolo, appunto, è uguale per le due circonferenze.
Chiamo $C_1$ la circonferenza maggiore, con raggio $R_1$.
Così la minore $C_2$ con raggio $R_2$.
Per semplicità, data la simmetria, considero solo "metà" della figura,
così chiamo $a$ la lunghezza (data) di metà cinghia.
Chiamo $x$ la distanza tra i centri.
Ora, si capisce che, dati due raggi differenti, $\beta$ ed $x$ sono in una corrispondenza biunivoca.
provo a spiegare senza figura, spero nella pazienza altrui!
vediamo che $(R_1-R_2)/sin\beta=x$
La lunghezza $l$ della metà di cinghia non avvolta alle pulegge è:
$l=xcos\beta=(R_1-R_2)cotan\beta$
la parte avvolta è uguale
a:
$R_2(\pi/2-\beta)$ nella minore, e $R_1(pi/2+\beta)$ nella maggiore.
per cui avresti a risolvere l'equazione:
$(R_1-R_2)(cotan\beta+\beta)+ (R_1+R_2)\pi/2=a$
E questa equazione non ha una soluzione che si trovi analiticamente.
Si utilizzano metodi numerici _che ti portano
fino all'approssimazione desiderata.
non userò le lettere che tu hai usato.
Considero l'interasse orizzontale.
Chiamo $\beta$ l'angolo tra la verticale ed il raggio al punto di tangenza.
L'angolo, appunto, è uguale per le due circonferenze.
Chiamo $C_1$ la circonferenza maggiore, con raggio $R_1$.
Così la minore $C_2$ con raggio $R_2$.
Per semplicità, data la simmetria, considero solo "metà" della figura,
così chiamo $a$ la lunghezza (data) di metà cinghia.
Chiamo $x$ la distanza tra i centri.
Ora, si capisce che, dati due raggi differenti, $\beta$ ed $x$ sono in una corrispondenza biunivoca.
provo a spiegare senza figura, spero nella pazienza altrui!
vediamo che $(R_1-R_2)/sin\beta=x$
La lunghezza $l$ della metà di cinghia non avvolta alle pulegge è:
$l=xcos\beta=(R_1-R_2)cotan\beta$
la parte avvolta è uguale
a:
$R_2(\pi/2-\beta)$ nella minore, e $R_1(pi/2+\beta)$ nella maggiore.
per cui avresti a risolvere l'equazione:
$(R_1-R_2)(cotan\beta+\beta)+ (R_1+R_2)\pi/2=a$
E questa equazione non ha una soluzione che si trovi analiticamente.
Si utilizzano metodi numerici _che ti portano
fino all'approssimazione desiderata.
innanzitutto ringrazio delle risposte;
inoltre posto nuovamente l'immagine
http://img838.imageshack.us/i/costruzionetangenti.jpg
Orazioster mi vanno bene le tue deduzioni sulla cotangente ma che intendi con :"metodi numerici _che ti portano
fino all'approssimazione desiderata"?
inoltre mi definisci "a" come il termine risultato dell'equazione ma io devo calcolare β che non è ancora noto.
La soluzione deve sicuramente essere attraverso lo sviluppo di un sistema in cui imposto l'equazione della prima circonferenza, l'equazione della seconda circonferenza, l'equazione della retta che passa nel punto di tangenza della prima e nel punto di tangenza della seconda, ma ho ancora troppe incognite e non so andare avanti, qualche idea?
inoltre posto nuovamente l'immagine
http://img838.imageshack.us/i/costruzionetangenti.jpg
Orazioster mi vanno bene le tue deduzioni sulla cotangente ma che intendi con :"metodi numerici _che ti portano
fino all'approssimazione desiderata"?
inoltre mi definisci "a" come il termine risultato dell'equazione ma io devo calcolare β che non è ancora noto.
La soluzione deve sicuramente essere attraverso lo sviluppo di un sistema in cui imposto l'equazione della prima circonferenza, l'equazione della seconda circonferenza, l'equazione della retta che passa nel punto di tangenza della prima e nel punto di tangenza della seconda, ma ho ancora troppe incognite e non so andare avanti, qualche idea?
mannaggia clamoroso colpo di sonno," a " è mezza cinghia.,...srry e grazie mille, provo ad isolare beta
TKS TKS
TKS TKS
Abbiamo un'equazione della forma
$cotan\beta +\beta=K$;
Come la risolveresti analiticamente?
I "metodi numerici" sono i metodi (oggetto di studio del "calcolo numerico")
che ti portino ad approssimare la radice dell'equazione (cioè ti daranno un "numero" vicino alla soluzione esatta).
Se il tuo interesse era a conoscere il metodo per cui siano tabellati quei valori, spero che la discussione sia servita.
Se ti serve invece conoscere proprio un certo valore, avendo dei dati; e le tabelle non ti soddisfano,
puoi dirmi con che approssimazione ti serva, e vedrò di calcolarlo.
$cotan\beta +\beta=K$;
Come la risolveresti analiticamente?
I "metodi numerici" sono i metodi (oggetto di studio del "calcolo numerico")
che ti portino ad approssimare la radice dell'equazione (cioè ti daranno un "numero" vicino alla soluzione esatta).
Se il tuo interesse era a conoscere il metodo per cui siano tabellati quei valori, spero che la discussione sia servita.
Se ti serve invece conoscere proprio un certo valore, avendo dei dati; e le tabelle non ti soddisfano,
puoi dirmi con che approssimazione ti serva, e vedrò di calcolarlo.
Orazioster, mi fa molto piacere che ti stia prendendo questa cosa, ti spiego ..... le mie intenzioni sono di realizzare un progetto che consiste nello
sviluppare un programma scritto in "c" che mi permetta di calcolare l'interasse delle pulegge dopo aver fornito valori come lunghezza cinghia, raggio1 e raggio2.
Quindi devo risolvere l'equazione in modo da avere β=.............
Ora ci lavoro su ma la vedo ardua.
Inoltre non ho ben capito cosa intendi con:
"I metodi numerici sono i metodi (oggetto di studio del "calcolo numerico")
che ti portino ad approssimare la radice dell'equazione (cioè ti daranno un "numero" vicino alla soluzione esatta)" = scusa ma x5-3=0 risolvo cone x=5/3........ questo è un valore definito, non è approssimato e neppure tabellato
e perchè imposti una costante invece di trovare il valore di β.???
Vuoi dire che β non si può isolare?
sviluppare un programma scritto in "c" che mi permetta di calcolare l'interasse delle pulegge dopo aver fornito valori come lunghezza cinghia, raggio1 e raggio2.
Quindi devo risolvere l'equazione in modo da avere β=.............
Ora ci lavoro su ma la vedo ardua.
Inoltre non ho ben capito cosa intendi con:
"I metodi numerici sono i metodi (oggetto di studio del "calcolo numerico")
che ti portino ad approssimare la radice dell'equazione (cioè ti daranno un "numero" vicino alla soluzione esatta)" = scusa ma x5-3=0 risolvo cone x=5/3........ questo è un valore definito, non è approssimato e neppure tabellato
e perchè imposti una costante invece di trovare il valore di β.???
Vuoi dire che β non si può isolare?
Nell'equazione
che porti come esempio hai un'espressione analitica esplicita per la soluzione.
Ma non puoi averla per un'equazione come $cotan\beta+\beta =K$, ($K=[a-\pi/2(R_1+R_2)]/(R_1-R_2)$).
Puoi avere un algoritmo che, ad ogni iterazione, ti avvicina a $\beta$, avendo i dati $R_1$,$R_2$ ed $a$ _cioè $K$;
e poi lo implementi. Quante iterazioni fare?
dipende dall'"errore" tollerabile.
che porti come esempio hai un'espressione analitica esplicita per la soluzione.
Ma non puoi averla per un'equazione come $cotan\beta+\beta =K$, ($K=[a-\pi/2(R_1+R_2)]/(R_1-R_2)$).
Puoi avere un algoritmo che, ad ogni iterazione, ti avvicina a $\beta$, avendo i dati $R_1$,$R_2$ ed $a$ _cioè $K$;
e poi lo implementi. Quante iterazioni fare?
dipende dall'"errore" tollerabile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
