Tangente ad una parabola

[Hornet345]

Ciao,
Non riesco ad impostare il seguente quesito:
Trovare l'equazione della retta tangente nel punto $ P=(2,2) $ alla conica $ x^2 - 2y= 0 $
Grazie in anticipo

[@melia]

Il punto P appartiene alla parabola, quindi ci sono vari modi.

Primo modo
1) fascio di rette passante per P $y-2=m(x-2)$
2) sistema tra il fascio e la parabola $\{(y-2=m(x-2)), (x^2 - 2y= 0) :}$
3) equazione di secondo grado risolvente il sistema $x^2-2mx+4m-4=0$
4) il $Delta$ dell'equazione di secondo grado deve annullarsi, in modo che le soluzioni siano coincidenti
$4m^2-16m+16=0$, che ammette come unica soluzione doppia $m=2$
5) l'equazione è $y-2=2(x-2)$ cioè $y=2x-2$

Secondo modo
Siccome P appartiene alla parabola $y=1/2 x^2$, il coefficiente angolare della tangente è il valore che la derivata della funzione assume in $P(2,2)$, quindi
$y'=x$ perciò $y'(2)=2=m$ e anche in questo caso basta sostituire il valore di $m$ trovato nel fascio passante per P

Terzo modo
Sempre grazie al fatto che P appartiene alla parabola, si possono usare le formule di sdoppiamento, ottieni
$2x-2*(y+2)/2=0$ da cui $2x-y-2=0$ che è la retta tangente trovata anche nei due casi precedenti.

[Hornet345]

Grazie !