Sviluppo di Laplace

[thedarkhero]

Sia $A$ la matrice di un endomorfismo.
Allora $det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^(i+j)a_(i,j)A_(i,j)$ dove $a_(i,j)$ è il generico elemento della matrice A e $A_(i,j)$ è la sottomatrice ottenuta da A rimuovengo la riga i e la colonna j.

Dimostrazione:
Si tratta di dimostrare che la regola di Laplace produce una funzione multilineare alternante delle colonne di A. (perchè?)
Sia ${v_1,...,v_N}$ base di V, e sia A la matrice di un endomorfismo $phi$ di V.
Si fissa $v_j$ quindi $phi(v_j)=\sum_{i=1}^n a_(i,j)v_i$.
Si pone $W_i=$.
$D(phi(v_1),...,phi(v_(j-1)),v_i,phi(v_(j+1)),...,phi(v_n))=D(phi(v_1)-a_(i,1)v_i,...,phi(v_(j-1))-a_(i,j-1)v_i,v_i,phi(v_(j+1))-a_(i,j+1)v_i,...,phi(v_n)-a_(i,n)v_i)$. (perchè?)
Poi come continuo?

[j18eos]

Mi limito a precisare che $A_{i;j}$ è il determinante della matrice ottenuta da $A$ eliminando la riga $i$-esima e la colonna $j$-esima; si dice anche minore.

L'enunziato è corretto anche per le righe di $A$; anzi, le dimostrazioni sono analoghe.

Ma essendo tale [tex]\phi[/tex] multilineare non deve essere a più variabili?