Suriettività

[zio_mangrovia]

Data l’applicazione da $RR^3$ in $RR^2$ definita da $((2,1,0),(1,1,1))$ mi aiutate a capire se è suriettiva/iniettiva?

ho posto il sistema uguale a zero per capire quale fosse il Ker e mi viene un valore diverso da zero quindi posso confermare che non è iniettiva, ma per la suriettività?

[Jokah]

L'applicazione non può essere a priori iniettiva perché lo spazio di partenza è più grande di quello di arrivo. Per la suriettività, conviene trovare una base per l'immagine. Effettuando ad esempio la riduzione di Gauss sulla matrice, ottieni che la seconda riga diviene \( (0, \frac{1}{2}, 1)\) da cui l'ultima colonna, non contribuendo al calcolo del rango, è linearmente dipendente dalle altre. Una base dell'immagine è ad esempio \((2,1), (1,1)\) (puoi scegliere invece una qualsiasi base di \(\mathbb{R}^2\) ). Essendo che una base è formata da 2 elementi, l'immagine ha dimensione 2, che coincide con la dimensione codominio. L'applicazione è suriettiva.

Il fatto che il nucleo ti venisse non banale era di per sé evidente a priori: infatti lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, con n incognite, è esattamente n - rango(Matrice associata). Poiché il rango per righe è uguale a quello per colonne, sicuramente il rango della matrice data sarà minore o al più uguale a 2, da cui lo spazio delle soluzioni avrà dimensione maggiore o uguale a 3-2 = 1.

Potevi anche rispondere senza effettuare calcoli: l'applicazione è suriettiva se e solo se (nel caso particolare) il rango della matrice associata è 2. Questo avviene se i due vettori che ne costituiscono le righe sono linearmente indipendenti, cioè non paralleli. Poiché uno ha una componente nulla dove l'altro ne ha una diversa da 0, sicuramente i vettori non sono paralleli, e allora si ha suriettività.