Supporti di forme in varietà e sottovarietà

[chiara3231]

Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con alcune inclusioni perchè quando c'è di mezzo un pull-back io mi blocco
Comunque, vi dico di cosa si tratta.
Sia $i:S\rightarrow M$ un embedding fra due varietà orientate di dimensione rispettiva $k$ e $n$. As sumiamo che $i(S)$ sia chiuso e sia $\omega\in \Omega_c^k(M)$. Allora, io ho scritto (molto tempo fa ed ora non riesco più a riprendere le fila del discorso) $ \text{supp}(i^\star \omega)\subset i^{-1}(\text{supp}\omega)$, e già qui c'è il primo problema perchè non vedo l'inclusione.
E dopo vado avanti e ho $i^{-1}(\text{supp}\omega)\subset \text{supp}\omega\cap S$, che secondo me non ha nemmeno del tutto senso dato che sto intersecando $\text{supp}\omega\subset M$ con $S$, non è detto che $S$ sia un sottoinsieme di $M$. Boh, non ci capisco molto. Qualcuno mi può aiutare?

[j18eos]

CIa0 Chiara;

ti ricordi che cos'è il pull-back di una forma differenziale lungo un'applicazione differenziabile?

[killing_buddha]

Il fatto che $i$ sia un embedding garantisce che $S$ sia omeomorfo a $i(S)$, dunque quando ti riferisci ad $S\subset M$ confondi i due sottoinsiemi dato che sono omeomorfi; alla luce di cio' le inclusioni che hai scritto diventano piuttosto ovvie: il supporto di una forma ristretta a una sottovarieta' diventa l'intersezione del suo supporto con la sottovarieta'


(Ovviamente e' decisamente piu' comodo vederlo come immagine inversa di un morfismo di fasci, ma transeat )

[chiara3231]

@j18eos: Sì, so cos'è il pull-back di una forma, anche se l'avrò studiato 850mila volte e tutte le volte ho problemi simili, proprio non mi entra in testa. Comunque $i^\star \omega$ è una $k$-forma su $S$ definita come $(i^\star \omega)_p=di_p^\star(\omega_{i(p)})$. Ma ora non so come gestire bene le cose. L'ho detto che quando ci sono troppi asterischi in una formula mi blocco

[j18eos]

Veramente quella sarebbe la definizione?

Se vuoi ti espongo il dovuto?

Non ti sto prendendo in giro, scrivo sul serio!