Superficie regolare o no?

[And_And92]

$S={(x,y,z)|z=0,x^2+y^2<=1}$ é una superficie regolare? Io ho risposto di no perché per i punti sulla frontiera non posso trovare un intorno contenuto in $S$ che li contenga, in modo che venga contraddetto il fatto che per una superficie regolare posso sempre trovare un intorno di ogni punto in modo che localmente tale superficie sia grafico di una funzine. E corretto? Uso la definizione del Do Carmo di superficie regolare.

EDIT: grazie delirium per aver quotato

[Sk_Anonymous]

"And_And92":$S={(x,y,z)|z=0,x^2+y^2<=1}$ e una superficie regolare? Io ho risposto di no perché per i punti sulla frontiera non posso trovare un intorno contenuto in $S$ che li contenga, in modo che venga contraddetto il fatto che per una superficie regolare posso sempre trovare un intorno di ogni punto in modo che localmente tale superficie sia grafico di una funzine. E corretto? Uso la definizione del Do Carmo di superficie regolare.

Quoto soltanto perché ti sei dimenticato un simbolo di dollaro, e non si leggeva quanto avevi scritto.

Unidimensionalmente parlando, si tratterebbe di trovare un omeomorfismo tra \(I=(-\epsilon,0], \, \epsilon>0\) e un aperto \(A\) della retta reale... Il che mi pare impossibile per argomenti di connessione (prova a togliere lo \(0\) da \(I\) e vedi quello che succede in \(A\)). Nel piano la cosa sembra più difficile, ed al momento non riesco a raggiungere un assurdo.
Ad ogni modo il problema sta nei punti di frontiera, e suppongo si debba provare che se \(U\) è un aperto dello spazio euclideo e \(U \cap S\) contiene dei punti di frontiera di \(S\), allora \(U \cap S\) non può essere omeomorfo ad un aperto del piano.

Spero di non aver detto cazzate perché sono mezzo morto.

[And_And92]

Certo per il caso unidimensnale é ovvio. Come dicevo, io invece di rompermi tanto le scatole con diffeomorfismi vari, ho cercato di contraddire un teorema. Dato che sei pure tu di padova, te lodico in maniera non ben referenziata, o forse troppo, pag 63 do Carmo, proposizione 3.
Per ogni punto di una superficie regolare esiste un intorno V di tale punto in S taleché V sia il grafico di una funzione differenziabile che espliciti una coordinata rispetto alle altre.
Io ho detto semplicemente che se un punto sta sulla frontiera, non puoi mai trovare una palla aperta in S che contenga P, e dunque il teorema sopra é contraddetto, perche non esiste l'intorno taleche etcetc..... e dunque la superficie non é regolare.
Sto sbagliando?

[Sk_Anonymous]

Secondo me è vero quanto dici, ma a patto che non si stia parlando di topologia indotta, perché in tal caso un aperto di \(S\) con la topologia indotta è dato dall'intersezione di un aperto di \(\mathbb{R}^3\) con \(S\) (e si ritornerebbe a dover provare che questo signore non può essere omeomorfo ad un aperto del piano).

[Maci86]

Non riusciamo a proiettare la sfera su quel cerchio?

P.S. Ci conosciamo?!

[And_And92]

Beh, io sono Andrea Merlo, se il nome vi suona familiare direi di si... Io faccio mate a padova

[Maci86]

Beh, io sono io, dovresti conoscermi!

P.S. Hai provato a parametrizzare localmente il disco, per esempio, attraverso le parametrizzazioni locali della sfera proiettate sul piano?